Aufgabenstellung

Ein Schiverleih hat am Beginn der Saison 350 Paar rote Schi und 450 Paar blaue Schi. Am Ende der Saison sind insgesamt 500 Paar Schi defekt, davon sind 56% rot.

1. Bestimmen Sie die Vierfeldertafel für diese Aufgabe!

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

   1. ein zufällig ausgewähltes Paar Schi blau und in Ordnung ist?

   2. ein zufällig ausgewähltes Paar blaue Schi defekt ist?

   3. ein zufällig ausgewähltes Paar defekte Schi blau ist?

3. Ereignisse werden folgendermaßen abgekürzt:

   $R\dots$ Rotes Paar Schi

   $B\dots$ Blaues Paar Schi

   $D\dots$ Defektes Paar Schi

   Beschreiben Sie jeweils in einem deutschen Satz, was die folgenden Symbole bedeuten:

   1. $P(R\cap \overline{D})$
   2. $P(D\mid R)$

Aufgabenstellung

Von einem Viereck $ABCD$ kennt man die Seitenlängen

sowie die Länge der Diagonale $\overline{BD}=72,8\text{m}$ und den Winkel $\delta =\angle CDA=125,2°$.

Berechnen Sie den Winkel $\gamma =\angle BCD$ des Vierecks $ABCD$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Aufgabenstellung

Gegeben sind der Punkt $A(-3\mid 1\mid -3)$ und die Gerade

1. Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes $A$ von der Geraden $g$!

2. Der Punkt $A$ und die Gerade $g$ liegen auf einer Ebene $\epsilon$.

   Geben Sie eine Gleichung dieser Ebene $\epsilon$ in Normalform an!

3. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $h$ an, die auf die Ebene $\epsilon$ normal steht und den Punkt $Q(9\mid -7\mid 1)$ enthält!

4. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden $h$ mit der Ebene $\epsilon$!

5. Verwenden Sie die Methode der Ortsvektoren, um die Koordinaten eines Punkts $R$ auszurechnen, der von der Ebene $\epsilon$ den Normalabstand $d(R,\epsilon )=15$ hat!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von $f$!

3. Berechnen Sie $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$!

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet. Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(-2)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist:

   

   Graph of polynomial function g showing local extrema

2. Von einer Polynomfunktion dritten Grades kennt man die Gleichungen zweier Tangenten:

   Die Tangente $t_P$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(0\mid y_P)$ hat die Gleichung $t_P:x-2y=6$

   Die Tangente $t_Q$ an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(-1\mid y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q:2y-11x=0$

   1. Geben Sie 4 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

   2. Berechnen Sie den Funktionsterm der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

Der Graph der Funktion $f:y=-\frac{1}{2}{x}^2+x+2$ und die Gerade $g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -3\end{array}\right)$ begrenzen ein endliches Flächenstück.

1. Skizzieren Sie das Flächenstück!

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

3. Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $P(-1\mid y_f)$!

Aufgabenstellung

1. Berechnen Sie

   $$\int 64x^3\left(\frac{1}{1-4x}+\frac{1}{\sqrt{1-4x}}+\ln x\right)dx$$

2. Skizzieren Sie das Flächenstück, welches mit ${\int }_{-1}^3\sqrt{4-x}dx$ berechnet wird!

Aufgabenstellung

Die Wirksubstanz eines Medikaments wird vom menschlichen Organismus exponentiell abgebaut. Beobachtungen haben ergeben, dass innerhalb von 7 Stunden 35% der Wirksubstanz abgebaut werden. Das Medikament wird in Form von Tabletten eingenommen, wobei jede Tablette 45 mg Wirksubstanz enthält. Eine Person nimmt um 6 Uhr in der Früh zwei Tabletten ein. Um 11 Uhr nimmt sie eine weitere Tablette ein.

1. Wieviel mg Wirksubstanz befinden sich im Körper der Person um 13 Uhr?

2. Zu welcher Uhrzeit muss die Person die nächste Tablette einnehmen, damit die Menge der Wirksubstanz im Körper nicht unter 60 mg fällt?

3. Berechnen Sie die Halbwertszeit des Abbauprozesses!

Aufgabenstellung

1. Von einer arithmetischen Folge ist die Summe der ersten fünf Glieder 20.

   Bestimmen Sie das allgemeine Glied der Folge, wenn das zweite Glied $a_2=1$ ist.

2. Von einer positiven geometrischen Folge sind die Glieder $b_2=405$ und $b_6=5$ bekannt.

   1. Bestimmen Sie das allgemeine Glied!

   2. Berechnen Sie die Summe der ersten 7 Glieder!