Aufgabenstellung

In einer Urne befinden sich fünf schwarze, vier weiße und drei grüne Kugeln. Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

   1. alle drei Kugeln grün sind!

   2. die drei Kugeln drei verschiedene Farben haben!

   3. genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden!

   4. höchstens 2 schwarze Kugeln gezogen werden!

2. Folgendes Spiel wird vereinbart:

   Sind alle Kugeln grün, dann bekommt man 39 €.

   Haben die Kugeln 3 verschiedene Farben, dann bekommt man X Euro.

   In allen anderen Fällen muss man 1 € bezahlen.

   Wie groß muss der Betrag X für 3 Kugeln mit verschiedener Farbe sein, damit das Spiel fair ist?

Aufgabenstellung

Von einem Viereck $ABCD$ kennt man die Längen

und die Winkel

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{AB}$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Ebene

1. Geben Sie eine Gleichung der Ebene $\epsilon$ in Normalform an!

2. Spiegeln Sie den Punkt $R(12|-2|15)$ an der Ebene $\epsilon$!

   Fertigen Sie dazu eine Skizze an, die Ihre Lösungsstrategie demonstriert!

   Eine Rechnung ohne Skizze bringt keine Punkte!

3. Berechnen Sie den Winkel unter dem die x-Achse die Ebene $\epsilon$ schneidet!

Aufgabenstellung

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von $f$!

3. Berechnen Sie $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$!

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. Von einer Funktion $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man:

   $g(2)=-1$ und $g^{\prime }(2)=-3$

   1. Zeichnen Sie die durch diese Bedingungen gegebene Tangente!

   2. Skizzieren Sie eine mögliche Kurve $g$ in einer Umgebung des Tangentialpunkts im Koordinatensystem rechts!

2. Von einer Polynomfunktion 4. Grades weiß man Folgendes:

   Die Tangente an $f$ im Wendepunkt $W(1|y_W)$ hat die Gleichung $t_W:-x+y=5$

   Die Tangente an $f$ im Punkt $R(0|y_R)$ hat die Gleichung $t_R:y-3x=4$

   1. Geben Sie 5 Bedingungen der Funktion an!

   2. Berechnen Sie den Funktionsterm der Funktion!

Aufgabenstellung

Die Gerade $g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ und der Graph der Kurve $f:y=\frac{1}{2}{x}^2-2x-2$ begrenzen ein endliches Flächenstück.

1. Bestimmen Sie die Steigung der Geraden $g$!

2. Skizzieren Sie das beschriebene Flächenstück!

3. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

Aufgabenstellung

1. Berechnen Sie:

   $$\int 8x^2\left(\frac{e^{-2x}}{x}-\frac{x^3}{1-2x}\right)dx$$

2. Skizzieren Sie das Flächenstück, welches mit ${\int }_0^2(\frac{3+x^2}{3})dx$ berechnet wird!

   Gesucht ist nur die Skizze! Die Berechnung des Werts des Integrals von (b) bringt keine Punkte!

3. Berechnen Sie:

   $$1-6+11-16+\dots +191-196+301=$$

Aufgabenstellung

Die Wirksubstanz eines Medikaments wird vom menschlichen Organismus exponentiell abgebaut. Der Abbauprozess kann durch die folgende Formel beschrieben werden:

Die Wirksubstanz wird in Form von Tabletten mit 55 mg Wirksubstanz pro Tablette eingenommen. Eine Person nimmt um 6 Uhr früh zwei Tabletten und um 11 Uhr am Vormittag eine weitere Tablette ein.

1. Berechnen Sie die Menge der Wirksubstanz im Körper der Person um 12 Uhr!

2. Zu welcher Uhrzeit muss die Person die nächste Tablette einnehmen, damit die Menge der Wirksubstanz im Körper nicht unter 25 mg sinkt?

3. Berechnen Sie die Halbwertszeit des Abbauprozesses!

4. Wieviel Prozent der Wirksubstanz werden pro Stunde vom menschlichen Organismus abgebaut?

Aufgabenstellung

Von einem Rechteck ist der Umfang $u=120$ cm gegeben.

1. Wie sind die beiden Seitenlängen zu wählen, damit der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird?

2. Skizzieren Sie den Graphen jener Funktion, deren Maximum gesucht wird!

3. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt?