EPM January 2023

Ein Bogenschütze trifft mit der Wahrscheinlichkeit $p_1=25\%$ in den inneren, grauen Kreis der Zielscheibe (Bild), mit $p_2=35\%$ trifft er in den äußeren weißen Kreisring. Mit der restlichen Wahrscheinlichkeit trifft er überhaupt nicht.

Target diagram showing two concentric circles: inner gray circle for p1=25% and outer white ring for p2=35%

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze bei 7 Versuchen:

   1. niemals trifft

   2. zweimal in den inneren und dreimal in den äußeren Kreis trifft?

   3. genau viermal in den inneren Kreis trifft?

   4. mindestens einmal in den inneren Kreis trifft?

2. Wie viele Schüsse muss der Schütze mindestens abgeben, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer in den inneren Kreis größer als 98% ist?

Von einem Parallelogramm $ABCD$ kennt man den Flächeninhalt $A=3575{\text{mm}}^2$, die Länge der Höhe $h_a=45,6\text{mm}$ und den Winkel $\delta =\angle CDA=108,7°$.

Berechnen Sie

1. die Länge der Seite $b=\overline{BC}$

2. die Länge der Diagonalen $e=\overline{AC}$ und $f=\overline{BD}$

3. den Winkel $\phi =\angle (e,f)$, den die beiden Diagonalen einschließen!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Gegeben ist die Ebene $\epsilon :8x-y+4z=30$ und die Punkte $A(-5|-2|11)$ und $B(-9|-2|16)$.

1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g[A,B]$ durch die Punkte $A$ und $B$ an!

2. Berechnen Sie den Normalabstand $d(Q,g[A,B])$ des Punkts $Q(12|-2|-8)$ von der Geraden g[A, B]!

3. Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel zwischen der Geraden $g[A,B]$ und der Ebene $\epsilon$!

4. Geben Sie die Koordinaten eines Punkts $P$ an, der von der Ebene $\epsilon$ den Normalabstand $d(P,\epsilon )=18$ hat!

   Verwenden Sie für die Lösung von (d) die Methode der Ortsvektoren!

Gegeben ist die Funktion

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von $f$!

3. Berechnen Sie $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$!

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Graph of function g(x) showing a curve with local minimum and maximum in coordinate system

1. In der Abbildung rechts ist der Graph einer Kurve $g$ abgebildet. Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(1)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist!

2. Von der Funktion $f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ kennt man die Gleichungen zweier Tangenten:

   Die Tangente $t_P$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(1|y_P)$ hat die Gleichung $t_P:y-5x=1$

   Die Tangente $t_Q$ an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(-1|y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q:y-x=1$

   1. Geben Sie 4 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

   2. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion $f$!

Der Punkt $P(-3|-4)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f:y=a{x}^2-1$.

Die Tangente $t_P$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P$, der Graph von $f$ und die y-Achse begrenzen ein Flächenstück.

1. Skizzieren Sie das Flächenstück!

2. Das Flächenstück rotiert um die y-Achse und erzeugt dadurch einen Drehkörper. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers!

1. Berechnen Sie

   $$\int 16x^2\left(\frac{9^x}{x}-x\sqrt{10-2x^4}\right)dx$$

2. Berechnen Sie

   $$\int \frac{24x^3-1}{1-2x}dx$$

3. Skizzieren Sie das Flächenstück, welches mit $\int (\sqrt{3-x})dx$ berechnet wird!

   Gesucht ist nur die Skizze! Die Berechnung des Werts des Integrals von (c) bringt keine Punkte!

Von einer radioaktiven Substanz mit der Anfangsmenge $m_0=32,5\text{mg}$ sind nach 15 Tagen noch 6,4 mg vorhanden.

1. Berechnen Sie, wieviel mg nach 10 Tagen vorhanden sind!

2. Berechnen Sie die Halbwertszeit des stattfindenden Zerfalls!

3. Wieviel Prozent der Substanz zerfallen pro Tag?

Von einer arithmetischen Folge $a_n$ kennt man das vierte Glied $a_4=14$ und die Summe der ersten beiden Glieder $s_2=3$.

1. Berechnen Sie das allgemeine Glied $a_n$!

2. Berechnen Sie die Summe der ersten 12 Glieder!

Bei einem Weihnachtsmarkt werden folgende Beobachtungen gemacht: Wird eine Tasse Punsch um 5 € angeboten, so werden pro Tag 480 Tassen verkauft. Wird der Preis um 0,01 € erhöht, so werden nur mehr 420 Tassen pro Tag verkauft. Es wird angenommen, dass die Anzahl der täglich verkauften Tassen linear vom Preis abhängt.

1. Bestimmen Sie die lineare Nachfragefunktion $N(p)$, also jene Funktion, die die täglich verkaufte Stückzahl in Abhängigkeit vom Preis angibt.

   1. Ab welchem Preis niemand mehr eine Tasse Punsch?

   2. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $N(p)$!

2. Berechnen Sie, für welchen Preis die Einnahmen maximal werden!

   Skizzieren Sie den Graphen jener Funktion, deren Maximum Sie berechnen müssen und geben Sie deren Definitionsmenge an!