Aufgabenstellung

Sie fahren diesen Sommer auf eine Reise. Dazu müssen Sie einige Dinge einpacken.

1. Sie haben 10 Bücher zu Hause und wählen drei davon für Ihre Reise zufällig aus.

   1. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei Bücher auszuwählen?

   2. Zwei von den 10 Büchern sind Mathematikbücher, die Sie für die nächste Prüfung benötigen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Mathematikbücher unter den drei zufällig ausgewählten Büchern sind?

2. Sie haben 4 blaue T-Shirts, 5 rote T-Shirts, 6 schwarze T-Shirts und 3 grüne T-Shirts zu Hause. Davon nehmen Sie 4 T-Shirts ohne hinzusehen und packen Sie in Ihren Koffer. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

   1. dass Sie von jeder Farbe ein T-Shirt eingepackt haben?

   2. dass Sie genau 2 blaue und 1 rotes T-Shirt eingepackt haben?

   3. dass alle Ihre eingepackten T-Shirts die gleiche Farbe haben?

   4. dass kein schwarzes T-Shirt im Koffer ist?

Aufgabenstellung

Von einem Viereck $ABCD$ kennt man die Seite $\overline{BC}=72,6$ mm und die Winkel:

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{AD}$ des Vierecks!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Ebene

1. Geben Sie zwei Punkte $P$ und $Q$ an, die auf der Ebene $\epsilon$ liegen!

2. Geben Sie die Gleichung einer Geraden $g$ an, die in der Ebene $\epsilon$ liegt!

3. 1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $h$ an, die normal auf die Ebene $\epsilon$ steht und den Punkt $A(2|5|-9)$ enthält!

   2. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden $h$ mit der Ebene $\epsilon$!

4. Geben Sie die Koordinaten eines Punkts $W$ an, der den Normalabstand $d=18$ von der Ebene $\epsilon$ hat!

5. Berechnen Sie den Schnittwinkel der Ebene $\epsilon$ mit der z-Achse!

Hinweis für (a), (b) und (c): Unten sehen Sie eine Skizze mit einer Ebene $\epsilon$. Zeichnen Sie die Punkte $P$ und $Q$ und die Gerade $g$ sowie einen Punkt $A$ und eine Gerade $h$ in diese Skizze!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

Die zweite Ableitung der Funktion

dürfen Sie ohne Berechnung verwenden.

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten der Funktion $f$ an!

3. Berechnen Sie die Extrem- und die Wendepunkte von $f$!

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. In der Abbildung rechts ist der Graph einer Kurve $g$ abgebildet. Zeichnen Sie die folgenden Größen in der Abbildung rechts ein und schätzen Sie ihren Wert ab:

   1. $g(1)$
   2. $g^{\prime }(1)$
   Sketch of curve g for estimating g(1) and g'(1).

2. Von einer Polynomfunktion 3. Grades kennt man zwei Tangenten:

   Die Tangente an $f$ im Punkt $P(1|y_P)$ hat die Gleichung $t_P:3y-6x=8$

   Die Tangente an $f$ im Punkt $Q(0|y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q:x+y=4$

   Geben Sie den Funktionsterm der Polynomfunktion an!

Aufgabenstellung

Die Kurve $f:y=\sqrt{1-x}$, die Tangente an $f$ im Punkt $P(-3|y_p)$ und die x-Achse begrenzen ein endliches Flächenstück.

1. Skizzieren Sie das Flächenstück!

2. Das Flächenstück rotiert um die x-Achse.

   Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers!

Aufgabenstellung

1. Berechnen Sie:

   $$\int 6x^2\left(\frac{2^x}{x}-\sin (2-x^3)\right)dx$$

2. Berechnen Sie:

   1. $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\cos (2x-6)-x+2}{\ln (3x)-8}$
   2. $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\cos (2x-6)-x+2}{\ln (3x-8)}$

3. Skizzieren Sie das Flächenstück, welches mit ${\int }_{-1}^3\frac{8-x}{3}dx$ berechnet wird!

   Gesucht ist nur die Skizze! Die Berechnung des Werts des Integrals von (c) bringt keine Punkte!

Aufgabenstellung

1. Ein exponentiell wachsender Schimmelpilz wächst innerhalb von 3 Tagen um 44,3%.

   1. Um wieviel Prozent wächst der Schimmelpilz pro Tag?

   2. Wie lange braucht der Schimmelpilz um auf die dreifache Größe zu wachsen?

2. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen über der Grundmenge $G=\mathbb{R}$. Die Lösungen sind jeweils als Dezimalzahlen anzugeben!

   1. $\ln (x+1)=1-\ln (x-1)$
   2. $\frac{3^{4x-1}}{7^x}=1000$

Aufgabenstellung

Eine Strecke von gegebener Länge $s$ ist so in zwei Teile zu teilen, dass das Produkt der Längen der beiden Teilstrecken möglichst groß wird.

Berechnen Sie die Längen der beiden Teilstrecken und skizzieren Sie den Graphen jener Funktion, deren Maximum gesucht wird!

Aufgabenstellung

Von einer Folge $a_n$ sind die folgenden Glieder bekannt:

1. Geben Sie das allgemeine Glied an!

2. Berechnen Sie die Summe der ersten 75 Folgeglieder!