Aufgabenstellung

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen der Professorin in ihrer Vorlesung sei durch den Graphen der Dichtefunktion $f$ gegeben.

1. Bestimmen Sie die Höhe $h$ des Dreiecks so, dass $f(x)$ eine Dichtefunktion ist!

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Professorin

   1. genau zum Beginn der Stunde kommt $(x=0)$

   2. nach dem Beginn der Vorlesung eintrifft $(x>0)$

   3. zu früh kommt $(x<0)$

   4. um mindestens 2 Minuten zu spät kommt

   5. um mindestens 2 Minuten zu spät kommt unter der Bedingung, dass sie zu spät kommt

3. Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$!

   $$f(x)=\{\begin{array}{llc}\dots & \text{fu¨r}& -1<x<0\\ \dots & \text{fu¨r}& 0<x\le 4\\ \dots & \text{sonst}& \end{array}$$

4. Berechnen Sie den Erwartungswert $E(x)$ für das Eintreffen der Professorin!

Aufgabenstellung

Von einem Viereck $ABCD$ kennt man die Längen

und die Winkel

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{BC}$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Ebene

und die Punkte $P(-10|4|5)$ und $Q(0|1|20)$.

1. Geben Sie eine Gleichung der Ebene $\epsilon$ in Normalform an!

2. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g[P,Q]$ durch die Punkte $P$ und $Q$ an!

3. Berechnen Sie

   1. die Koordinaten des Schnittpunkts und den

   2. Schnittwinkel $\angle (g,\epsilon )$

   zwischen der Geraden $g[P,Q]$ und der Ebene $\epsilon$!

4. Berechnen Sie den Normalabstand $d(R,\epsilon )$ des Punkts $R(6|4|-2)$ von der Ebene $\epsilon$!

5. Geben Sie die Koordinaten eines Punkts $T$ an, der von der Ebene $\epsilon$ den Normalabstand $d=33$ hat!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

Die zweite Ableitung der Funktion

dürfen Sie ohne Berechnung verwenden.

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten der Funktion $f$ an!

3. Berechnen Sie die Extrem- und die Wendepunkte von $f$!

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. Von einer Funktion $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man:

   $g(4)=-1$ und $g^{\prime }(4)=3$

   1. Zeichnen Sie die durch diese Bedingungen gegebene Tangente!

   2. Skizzieren Sie eine mögliche Kurve $g$ in einer Umgebung des Tangentialpunkts im Koordinatensystem rechts!

2. Von einer Funktion $f$ weiß man Folgendes:

   Die Tangente an $f$ im Wendepunkt $W(-1|y_W)$ hat die Gleichung $t_W:x+2y=-4$

   Die Tangente an $f$ im Punkt $R(4|y_R)$ hat die Gleichung $t_R:4y-3x=0$

   Die Tangente im Tiefpunkt $T(1|y_T)$ hat die Gleichung $t_T:y+6=0$

   Geben Sie 7 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

Aufgabenstellung

Die beiden Funktionsgraphen von $f:y=x^2+1$ und $g:y=3x-1$ begrenzen ein endliches Flächenstück.

1. Skizzieren Sie das Flächenstück!

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

3. Das Flächenstück rotiert um die y-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers! Skizzieren Sie alle vorkommenden Drehkörper!

Aufgabenstellung

Berechnen Sie:

1.  
   $$\int 4x(e^{1-x^2}-\ln x)dx$$
2.  
   1. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{e^{3x-6}+1-x}{2x-2}$
   2. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{e^{3x-6}+1-x}{2(x-2)}$
3.  
   1. $\sum _{n=0}^{10}\left(3+\frac{1}{2}n\right)$
   2. $\sum _{n=0}^{10}3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

Aufgabenstellung

1. Ein Lichtstrahl, der in Wasser eindringt, wird exponentiell geschwächt. Wenn der Lichtstrahl 3 Meter Wasser durchdringt, verliert er 22% an Intensität.

   1. Auf welcher Länge im Wasser verliert der Lichtstrahl 50% seiner Intensität?

   2. Wieviel Prozent an Intensität verliert der Lichtstrahl pro Meter Wassertiefe?

2. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge $G=\mathbb{R}$ an:

   $$\lg (2x)-1=\lg (6-x)$$

   mit der Notation $\lg (x)={\log }_{10}(x)$

Aufgabenstellung

Eine Sportanlage hat die Form eines Rechtecks mit Halbkreisen an den Breitseiten (siehe Skizze).

Die Laufbahn mit 600 Metern Länge bildet die Umrandung der Sportanlage.

Wie sind Länge und Breite des Rechtecks in der Mitte zu wählen, damit dieses Rechteck maximalen Flächeninhalt hat?

Skizzieren Sie den Graphen jener Funktion, deren Maximum Sie berechnen und geben Sie auch die Definitionsmenge an!

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt!