VGUH Jänner 2023, Task 5

Eine Kurve wird durch die Gleichung $f(x)=5\sqrt{x}-x\sqrt{x}$ beschrieben.

1. Berechnen Sie in den Nullstellen von $f$ die Gleichungen der Tangenten an die Kurve.

2. Berechnen Sie die Fläche zwischen Kurve und $x$-Achse.

3. Die Fläche aus b) rotiert um die $x$-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

4. Dem Körper aus c) wird ein Kegel mit der Spitze im Ursprung und der Höhe $h$ auf der $x$-Achse eingeschrieben (siehe Skizze). Für welche Höhe $h$ wird das Volumen des Kegels maximal?