EPM April 2026

180minutes

54points

10tasks

Freeaccess

Points breakdown

Part A · 19 points · 35%

Part B · 35 points · 65%

Part A

19 points

1Task 1easy6 points 2Task 2medium7 points 3Task 3medium6 points

Part B

35 points

4Task 4medium5 points 5Task 5medium5 points 6Task 6medium5 points 7Task 7hard5 points 8Task 8medium6 points 9Task 9medium4 points 10Task 10hard5 points

Tasks

Task 16 points

Von einem Viereck $A BC D$ kennt man die Längen

\overline{C D} = 50, 4 mm \overline{D A} = 43, 7 mm \overline{B D} = 119, 2 mm

und die Winkel

γ = ∠ BC D = 112, 4° und δ = ∠ C D A = 95, 3°

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{A B}$ !

Genauigkeit: Bei Ergebnissen muss die erste Nachkommastelle gerundet richtig sein für Längen und Winkel!

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Task 27 points

Ein Schütze hat für die rechts abgebildete Zielscheibe folgende Trefferwahrscheinlichkeiten:

Zielscheibe

Mit der Wahrscheinlichkeit von einem Zehntel trifft er in den inneren schwarzen Bereich. Mit 25%iger Wahrscheinlichkeit trifft er in den weißen Kreisring und mit der Wahrscheinlichkeit von 60% trifft er in den äußeren grauen ringförmigen Bereich. Mit der restlichen Wahrscheinlichkeit schießt er neben die Zielscheibe.

(a) Der Schütze gibt 4 Schüsse ab. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

i. die beiden ersten Schüsse in den äußeren grauen Bereich, der dritte Schuss in den weißen Kreisring und der letzte Schuss in den inneren schwarzen Bereich treffen. 0,5 P

ii. zwei Schüsse in den äußeren grauen Bereich, ein Schuss in den weißen Kreisring und ein Schuss in den inneren schwarzen Bereich treffen, wobei die Reihenfolge egal ist. 0,5 P

iii. kein Schuss neben die Zielscheibe geht. 0,5 P

iv. mindestens ein Schuss in den inneren schwarzen Bereich trifft. 0,5 P

v. alle Bereiche (schwarz, weiß, grau, neben die Zielscheibe) genau einmal getroffen werden, wobei die Reihenfolge egal ist. 0,5 P

(b) Folgendes Spiel wird vereinbart: Es werden 4 Schüsse abgegeben. Treffen alle Schüsse in den inneren schwarzen Bereich, dann bekommt man $X$ €. Treffen alle Schüsse in den weißen Kreisring, dann bekommt man 172 €. Geht mindestens ein Schuss neben die Zielscheibe, dann muss man 4 € bezahlen. In allen anderen Fällen muss man nichts bezahlen und bekommt auch nichts.

Berechnen Sie $X$ so, dass das Spiel für den Schützen fair ist! 3,5 P

(c) Berechnen Sie, wie viele Schüsse der Schütze mindestens abgeben muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer in den inneren schwarzen Bereich größer als 99,7% ist!

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Task 36 points

Gegeben sind die Ebene

ε : X = - 1 20 + k \cdot 47 - 3 + ℓ \cdot - 2 - 5 1

und der Punkt $Q (- 9 ∣ 12 ∣ - 12)$ .

(a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene $ε$ in Normalform! 1 P

(b) Geben Sie eine Gleichung einer Geraden $h$ an, die durch den Punkt $Q$ verläuft und parallel zur Ebene $ε$ ist! 0,5 P

(c) Spiegeln Sie die Ebene $ε$ am Punkt $Q$ !

Geben Sie eine Gleichung der gespiegelten Ebene $ε^{'}$ in Normalform an!

Fertigen Sie eine Skizze an, die Ihre Lösungsstrategie demonstriert! 3,5 P

(d) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Ebene $ε$ und der $x$ -Achse! 1 P

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Task 45 points

(a) Gegeben ist die Funktion

f (x) = (x^{2} - 2) e^{1 - x}

i. Berechnen Sie $x \to + \infty lim f (x)$ und $x \to - \infty lim f (x)$

ii. Berechnen Sie alle Intervalle, auf denen die Funktion $f$ konvex ist!

(b) Von einer Funktion $g (x)$ ist Folgendes bekannt:

D_{g} = R

x \to - \infty lim g (x) = - 2 x \to + \infty lim g (x) = 2

(- \infty; - 2) konvex (- 2; 3) konkav (3; \infty) konvex

Skizzieren Sie einen möglichen Funktionsgraphen und die beiden Wendepunkte der Funktion $g$ im Koordinatensystem! 1,25 P

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Task 55 points

(a) In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet.

Zeichnen Sie den Wert von $g^{'} (2)$ in der Abbildung ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist:

g^{'} (2) \approx

(b) Von einer Funktion $h : R \to R$ weiß man:

h (- 3) = - 1 und h^{'} (- 3) = - \frac{1}{2}

Zeichnen Sie die bekannte Tangente und einen möglichen Funktionsgraphen der Funktion $h$ in einer Umgebung des Tangentialpunkts!

(c) $f : R \to R$ ist eine Polynomfunktion dritten Grades. Die Gleichungen zweier Tangenten sind bekannt:

Die Tangente $t_{P}$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P (0 ∣ y_{P})$ hat die Gleichung:

t_{P} : x = \frac{2 y + 2}{5}

Die Tangente $t_{Q}$ an den Graphen von $f$ im Punkt $Q (2 ∣ y_{Q})$ hat die Gleichung:

t_{Q} : x = \frac{2 y + 2}{3}

i. Geben Sie 4 Bedingungen für die Funktion $f$ an! 1,5 P

ii. Berechnen Sie den Funktionsterm der Funktion $f$ ! 1,5 P

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Task 65 points

Der Punkt $P (4 ∣ - 3)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f : y = a x^{2} + 1$ .

(a) Berechnen Sie $a$ ! 0,5 P

(b) Die Gerade $g [A, P]$ durch die Punkte $A (- 4 ∣ 1)$ und $P (4 ∣ - 3)$ und der Funktionsgraph von $f$ begrenzen ein endliches Flächenstück.

i. Skizzieren Sie dieses Flächenstück! 1 P

ii. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks! 3,5 P

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Task 75 points

Berechnen Sie

\int 4 x^{2} (\frac{1}{x e ^{x^{2}}} + \frac{1}{x e ^{x}} + \frac{1}{5 - 2 x}) d x

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Task 86 points

(a) Von einer radioaktiven Substanz kennt man die Anfangsmenge $m_{0} = 113, 5 g$ . Innerhalb von 3 Tagen zerfallen 28% der Substanz.

i. Wie viel Gramm der Substanz sind nach 8 Tagen noch vorhanden?

ii. Wie lange dauert es, bis nur mehr 2 g der Substanz vorhanden sind?

iii. Berechnen Sie die Halbwertszeit des Zerfallsprozesses!

(b) Lösen Sie die Gleichung

\frac{7 ^{2 x - 1}}{3 ^{2 x}} = 7 \cdot 5^{x}

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

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Task 94 points

(a) Berechnen Sie:

i. $n = 0 \sum 32 (32 - n)$

ii. $n = 0 \sum 32 (32 - n) (- 1)^{n}$ 1 P

(b) Von einer geometrischen Folge kennt man das dritte Glied $b_{3} = \frac{1}{3}$ und das sechste Glied $b_{6} = \frac{8}{81}$ . 1 P

i. Berechnen Sie das allgemeine Glied $b_{n}$ !

ii. Berechnen Sie die Summe aller Glieder! 1,5 P

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Task 105 points

Eine Sportanlage hat die Form eines Rechtecks mit Halbkreisen an den Breitseiten (siehe Skizze).

(a) Die Laufbahn mit 800 Metern Länge bildet die Umrandung der Sportanlage. Berechnen Sie, wie Länge und Breite des Rechtecks in der Mitte zu wählen sind, damit dieses Rechteck maximalen Flächeninhalt hat! 3 P

(b) Skizzieren Sie den Graphen jener Funktion, deren Maximum Sie berechnen, und geben Sie auch die Definitionsmenge an! 1,5 P

(c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt! 0,5 P

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