Aufgabenstellung

Eine Urne enthält 4 blaue, 5 grüne und 1 rote Kugel. Wir ziehen mit Zurücklegen.

1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4-maligem Ziehen

   1. keine rote Kugel

   2. mindestens drei grüne Kugeln

   3. höchstens eine blaue Kugel

   gezogen wird!

2. Wie oft muss man mindestens ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine blaue Kugel zu ziehen mehr als 95% ist?

Aufgabenstellung

Von einem Trapez $ABCD$ mit den Parallelseiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ kennt man die Seiten

und die Winkel

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{AB}$ und die Länge der Diagonale $\overline{BD}$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Ebene

1. Geben Sie eine Gleichung der Ebene $\epsilon$ in Normalform an!

2. Spiegeln Sie den Punkt $Q(10\mid -13\mid -1)$ an der Ebene $\epsilon$!

   Fertigen Sie dazu eine Skizze an, die Ihre Lösungsstrategie demonstriert!
   Eine Rechnung ohne Skizze bringt keine Punkte!

3. Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes $Q(10\mid -13\mid -1)$ von der Ebene $\epsilon$!

4. Berechnen Sie den Winkel unter welchem die $y$-Achse die Ebene $\epsilon$ schneidet!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

Die zweite Ableitung der Funktion

dürfen Sie ohne Berechnung verwenden.

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten der Funktion $f$ an!

3. Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von $f$!

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. Von einer Funktion $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man: $g(2)=1$ und $g^{\prime }(2)=-3$

   1. Zeichnen Sie die durch diese Bedingungen gegebene Tangente!

   2. Skizzieren Sie eine mögliche Kurve $g$ in einer Umgebung des Tangentialpunkts im Koordinatensystem rechts!

2. Von einer Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man Folgendes:
   Die Tangente an $f$ im Punkt $Q(2\mid y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q:x+3y=1$
   Die Tangente im Wendepunkt $W(-4\mid y_W)$ hat die Gleichung $t_W:x-2y=0$
   
   Geben Sie 5 Bedingungen für diese Funktion an!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f:y=\sqrt{x+3}$.

Die Kurve $f$, die Tangente $t$ an $f$ im Punkt $P(1\mid y_P)$ und die $x$-Achse begrenzen ein endliches Flächenstück.

1. Skizzieren Sie dieses Flächenstück!

2. Das Flächenstück rotiert um die $x$-Achse.
   Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers!

   Skizzieren Sie alle Drehkörper, die in der Rechnung vorkommen und die Flächenstücke, von denen die Drehkörper erzeugt werden!

Aufgabenstellung

1. Berechnen Sie:

   $$\int 4x\left(e^{2x-1}+\frac{1}{1-x}\right)dx$$

2. Berechnen Sie:

   $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{e^{x-1}}$$

3. Skizzieren Sie das Flächenstück, welches mit ${\int }_2^4\ln xdx$ berechnet wird!

1. Von einem radioaktiven Isotop kennt man die Halbwertszeit $H=4,8$ Stunden. Bei einem Unfall werden $2,5$ kg dieses Materials freigesetzt.

   1. Wieviel kg sind nach einem Tag noch vorhanden?

   2. Wieviel Prozent dieses Materials zerfallen pro Stunde?

   3. Wie lange dauert es, bis nur mehr 10% des Materials vorhanden sind?

2. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an:
   

   $\lg (x+16)-2\lg (4-x)=-1$
   

   mit der Notation: $\lg (x){=}^{10}\log (x)={\log }_{10}(x)$

Aufgabenstellung

1. Von einer geometrischen Folge $a_n$ sind die beiden Folgenglieder $a_2=2$ und $a_5=\frac{54}{125}$ bekannt.

   1. Bestimmen Sie das erste und das siebente Folgenglied der Folge $a_n$!

   2. Berechnen Sie die Summe der ersten 7 Folgenglieder.

   3. Berechnen Sie die Summe aller Folgenglieder.

2. Berechnen Sie:

   $$\sum _{n=10}^{100}(100-n)$$