EPM September 2023

180minutes

47points

9tasks

Freeaccess

Points breakdown

Part A · 18 points · 38%

Part B · 29 points · 62%

Part A

18 points

1Task 1medium6 points 2Task 2medium6 points 3Task 3medium6 points

Part B

29 points

4Task 4medium5 points 5Task 5medium5 points 6Task 6medium5 points 7Task 7hard5 points 8Task 8medium5 points 9Task 9medium4 points

Tasks

Task 16 points

Aufgabenstellung

Ein Gemüseverkäufer bezieht Tomaten von drei verschiedenen Produzenten $A$ , $B$ und $C$ . Eine Lieferung von insgesamt 750 kg Tomaten stammt zur Hälfte vom Produzenten $A$ . Vom Produzenten $B$ stammen 150 kg und der Rest stammt von Produzenten $C$ . Bei einer Qualitätskontrolle stellt der Verkäufer fest, dass 45 kg der gesamten Lieferung verdorben sind. Eine genaue Untersuchung ergibt, dass 96% der Tomaten vom Produzenten $A$ in Ordnung (= unverdorben) sind und 12 kg der Tomaten vom Produzenten $C$ verdorben sind.

Stellen Sie die Situation durch eine Tabelle dar!
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
1. eine beliebig ausgewählte Tomate vom Produzenten $C$ stammt!
2. eine beliebig ausgewählte Tomate unverdorben ist!
3. eine beliebig ausgewählte Tomate unverdorben ist und vom Produzenten $C$ stammt!
4. eine Tomate, die vom Produzenten $B$ stammt, unverdorben ist!
5. eine verdorbene Tomate vom Produzenten $A$ stammt!

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Task 26 points

Aufgabenstellung

Von einem Viereck $A BC D$ kennt man die Seitenlängen

\overline{A B} = 81, 6 m \overline{BC} = 103, 3 m \overline{A D} = 155, 4 m

sowie die Länge der Diagonale $\overline{A C} = 141, 8 m$ und den Winkel $γ = ∠ BC D = 131, 0°$

Berechnen Sie den Winkel $δ = ∠ C D A$ des Vierecks $A BC D$ !

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

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Task 36 points

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Ebene $ε : 8 x - y + 4 z = 21$ und die Punkte $P (4∣ - 5∣ - 2)$ und $Q (- 5∣ - 5∣10)$ !

Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g [P, Q]$ an auf der die Punkte $P$ und $Q$ liegen!
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g [P, Q]$ und der Ebene $ε$ !
Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden $g [P, Q]$ und der Ebene $ε$ !
Berechnen Sie den Normalabstand $d (T, g [P, Q])$ des Punkts $T (15∣ - 5∣0)$ von der Geraden $g [P, Q]$ !
Geben Sie die Koordinaten eines Punkts $A$ an, der den Normalabstand $d (A, ε) = 18$ von der Ebene $ε$ hat! Verwenden Sie die Methode der Ortsvektoren!

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Task 45 points

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x}{2 - 2 x}

Die zweite Ableitung der Funktion

f^{''} (x) = \frac{4}{( 1 - x ) ^{3}}

dürfen Sie ohne Berechnung verwenden.

Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$ !
Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten der Funktion $f$ an!
Berechnen Sie die Extrem- und die Wendepunkte von $f$ !
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$ !

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Task 55 points

Aufgabenstellung

Abbildung 1: Two function graphs (a) showing curve g and (b) showing curve ω with inflection point

In Abbildung 1(a) ist der Graph einer Kurve $g$ dargestellt. Zeichnen Sie den Wert von $g^{'} (- 2)$ in der Abbildung ein und geben Sie an, wie groß der Wert circa ist!
Markieren Sie den Wendepunkt des Funktionsgraphen in der Abbildung 1(b)!
Von einer Funktion $f$ kennt man die Gleichungen von drei Tangenten:
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P (3∣ y_{P})$ hat die Gleichung $t_{P} : 3 x + 2 y = 4$
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q (- 3∣ y_{Q})$ hat die Gleichung $t_{Q} : x = 3 y$
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $T (2∣ y_{T})$ hat die Gleichung $t_{T} : 3 y + 10 = 0$
Geben Sie 6 Bedingungen für diese Funktion an!

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Task 65 points

Aufgabenstellung

Der Punkt $P (10∣5)$ liegt auf der Kurve $f : y = a \cdot x$

Berechnen Sie $a$ !
Die Kurve $f$ , die Tangente an $f$ im Punkt $P$ und die y-Achse begrenzen ein endliches Flächenstück.
1. Skizzieren Sie dieses Flächenstück!
2. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Flächenstücks!

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Task 75 points

Aufgabenstellung

Berechnen Sie
$\int x^{2} (\frac{4 ^{x}}{x} - e^{1 - x^{3}}) d x$
Skizzieren Sie das Flächenstück, welches mit $\int_{- 3}^{- 2} - 1 - x d x$ berechnet wird!
Gesucht ist nur die Skizze! Die Berechnung des Werts des Integrals von (b) bringt keine Punkte!
Berechnen Sie:
$n = 1 \sum 25 \frac{3 ^{2 n}}{1 0 ^{n}}$

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Task 85 points

Aufgabenstellung

Die Fläche eines exponentiell wachsenden Schimmelpilzes vergrößert sich innerhalb von 4 Tagen von 2 cm² auf 3,5 cm².
1. Um wieviel Prozent wächst der Schimmelpilz pro Tag?
2. Wie lange braucht der Schimmelpilz um auf die vierfache Größe zu wachsen?
Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge $G = R$ . Die Lösungen sind als Dezimalzahlen anzugeben!
$ln (2 - x) - 1 = - ln (x + 2)$

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Task 94 points

Aufgabenstellung

Für die Markteinführung einer neuen Zeitschrift wurde eine Studie in Auftrag gegeben um den Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und Absatz zu ermitteln. Dabei hat sich gezeigt, dass ein linearer Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und verkaufter Stückzahl besteht. Die Verkaufszahl sinkt pro Cent Preiserhöhung um 20 Exemplare. Bei einem Preis von 2 € können 6000 Exemplare verkauft werden.

Bestimmen Sie die lineare Nachfragefunktion und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!
Wieviele Exemplare dieser Zeitschrift können maximal abgesetzt werden?
Ab welchem Preis wird kein einziges Exemplar mehr gekauft?
Bestimmen Sie jene Funktion, die die Einnahmen in Abhängigkeit vom Verkaufspreis angibt, geben Sie die Definitionsmenge an und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!
Berechnen Sie den Verkaufspreis, für den die Einnahmen maximal werden!
Wie hoch sind die maximalen Einnahmen?
Wieviele Exemplare werden in diesem Fall verkauft?

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