EPM Juni 2025

Von einem Viereck $ABCD$ kennt man die Längen

und die Winkel

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{CD}$!

Genauigkeit für das Ergebnis: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

(a) Mit einem idealen Würfel wird viermal hintereinander gewürfelt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

1. der Reihe nach die Zahlen 2, 3, 4 und 5 fallen!

2. die Zahlen 2, 3, 4 und 5 in beliebiger Reihenfolge fallen!

3. keine 1 und keine 6 fällt!

4. mindestens eine 6 fällt!

5. höchstens eine 6 fällt!

6. bei den beiden ersten Würfen eine ungerade Zahl und dann eine 4 und zuletzt die 6 fällt!

7. zwei ungerade Zahlen, einmal die 4 und einmal die 6 in beliebiger Reihenfolge fallen!

(b) Folgendes Spiel wird vereinbart: Mit einem idealen Würfel wird viermal hintereinander gewürfelt. Fallen der Reihe nach die Zahlen 2, 3, 4 und 5 dann bekommt man 577 €. Fällt mindestens eine 6, dann bekommt man einen Euro. In allen anderen Fällen muss man $X$ Euro zahlen.

Bestimmen Sie $X$ so, dass das Spiel fair ist!

(c) Berechnen Sie, wie oft man mindestens würfeln muss, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln größer als 99,7% ist!

Gegeben ist die Ebene

(a) Geben Sie die Koordinaten von 3 Punkten $A$, $B$ und $C$ an, die auf der Ebene $\epsilon$ liegen und bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $\epsilon$ in Parameterform!

(b) Spiegeln Sie den Punkt $Q(5|-4|18)$ an der Ebene $\epsilon$!

Fertigen Sie dazu eine Skizze an, die Ihre Lösungsstrategie demonstriert!

Eine Rechnung ohne Skizze bringt keine Punkte!

(c) Berechnen Sie den Abstand des Punkts $Q(5|-4|18)$ von der z-Achse!

(a) Gegeben ist die Funktion

1. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Gleichungen der Asymptoten der Funktion $f$!

2. Bestimmen Sie alle Intervalle, auf denen die Funktion monoton fallend ist!

3. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(3|y_P)$!

(b) Von einer Funktion $g(x)$ ist Folgendes bekannt:

• Definitionsmenge: $D_g=\mathbb{R}$
• Tiefpunkt: $T(-2|-3)$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=0$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=-1$
• $(-\infty ;-4,5)$ konkav
• $(-4,5;0)$ konvex
• $(0;\infty )$ konkav

Skizzieren Sie einen möglichen Funktionsgraphen der Funktion $g$ im Koordinatensystem!

(a) In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet.

Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(1)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist:

(b) In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $h$ abgebildet.

1. Markieren Sie alle Wendepunkte im Graphen von $h$!

2. Geben Sie ein Intervall an auf dem der Graph von $h$ konvex ist!

(c) Von einer Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ kennt man die Gleichungen zweier Tangenten:

1. Die Tangente an $f$ im Wendepunkt $W(-1|y_W)$ hat die Gleichung $t_W$: $\frac{2x+3y}{4}=1$

2. Die Tangente an $f$ im Punkt $P(3|y_P)$ hat die Gleichung $t_P$: $5x-2y=\frac{1}{2}$

Geben Sie 5 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

Gegeben sind die Funktion $f$: $y=\frac{10-x^2}{2}$ und die Gerade $g$: $\vec{X}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$.

Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ begrenzen ein endliches Flächenstück.

(a) Skizzieren Sie das Flächenstück!

(b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

(c) Das Flächenstück rotiert um die $y$-Achse.

Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers!

Skizzieren Sie alle Drehkörper, die in der Rechnung vorkommen!

Berechnen Sie:

(a)

(b)

(c)

(a) Eine Bakterienkultur verdreifacht sich innerhalb von 6 Stunden.

1. Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis sich die Bakterienkultur vervierfacht!

2. Geben Sie an, um wie viel Prozent die Bakterienkultur pro Stunde wächst!

3. Eine Bakterienkultur wurde vor genau einem Tag gestartet. Die Kultur enthält zur Zeit 16200 Bakterien. Berechnen Sie, mit wie vielen Bakterien die Kultur gestartet wurde!

(b) Lösen Sie die folgende Gleichung über der Grundmenge $G=\mathbb{R}$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle der Ergebnisse muss gerundet richtig sein!

Berechnen Sie:

(a)

(b)

(c)

Eine Sportanlage hat die Form eines Rechtecks mit Halbkreisen an den Breitseiten (siehe Skizze).

(a) Die Laufbahn mit 700 Metern Länge bildet die Umrandung der Sportanlage.

Berechnen Sie, wie Länge und Breite des Rechtecks in der Mitte zu wählen sind, damit dieses Rechteck maximalen Flächeninhalt hat!

(b) Skizzieren Sie den Graphen jener Funktion, deren Maximum Sie berechnen und geben Sie auch die Definitionsmenge an!

(c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt!