VGUH EPM · Математика

Почему произведение двух векторов это площадь

Возьмите $\vec{a}$ за основание, его длина $|\vec{a}|$. Площадь параллелограмма это основание, умноженное на высоту, но высота это лишь та часть $\vec{b}$, что стоит перпендикулярно основанию, а не вся его длина. Наклоните $\vec{b}$ ближе к $\vec{a}$, и фигура сплющивается: площадь падает, хотя ни одна длина не изменилась.

Эта перпендикулярная высота равна $|\vec{b}|\sin \theta$, где $\theta$ это угол между векторами, поэтому площадь это основание, умноженное на высоту:

Векторное произведение $|\vec{a}\times \vec{b}|$ по определению равно ровно этой величине, так что это не новая магия: это то же основание на высоту в одно действие, где $\sin \theta$ выделяет перпендикулярную часть. Выстройте векторы в одну линию ($\theta =0$), и оно падает до 0; поставьте их перпендикулярно ($\theta =90^{\circ }$), и оно достигает максимума $|\vec{a}||\vec{b}|$.

Треугольник на тех же двух векторах это половина от этого. В пространстве $\vec{a}\times \vec{b}$ превращается в вектор, перпендикулярный обоим, но его длина по-прежнему равна той же площади, поэтому для трёх точек постройте два вектора сторон и разделите длину их векторного произведения пополам:

Потяните два вектора, чтобы почувствовать, как площадь следует за их векторным произведением.