Aufgabenstellung

In einer Urne befinden sich vier schwarze, fünf weiße und eine rote Kugel. Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

   1. die rote Kugel dabei ist!

   2. die drei Kugeln drei verschiedene Farben haben!

   3. die drei Kugeln die gleiche Farbe haben!

   4. genau eine weiße Kugel gezogen wird!

   5. mindestens eine weiße Kugel gezogen wird!

2. Folgendes Spiel wird vereinbart: Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

   Ist die rote Kugel dabei, dann bekommt man 7 €.

   Haben die 3 Kugeln die gleiche Farbe, dann bekommt man 22 €.

   In allen anderen Fällen muss man X € bezahlen.

   Wie groß muss der Betrag X gewählt werden, damit das Spiel fair ist?

Aufgabenstellung

Von einem Trapez $ABCD$ mit den Parallelseiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ kennt man die Längen

und den Winkel $\angle BCD=122,4°$

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{CD}$!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Ebene

1. Geben Sie eine Gleichung der Ebene $\epsilon$ in Normalform an!

2. Spiegeln Sie die Ebene $\epsilon$ am Punkt $R(1|-12|12)$!

   Geben Sie eine Gleichung der gespiegelten Ebene ${\epsilon }^{\prime }$ in Normalform an!

   Fertigen Sie eine Skizze an, die Ihre Lösungsstrategie demonstriert!

   Eine Rechnung ohne Skizze bringt keine Punkte!

3. Berechnen Sie den Winkel unter dem die y-Achse die Ebene $\epsilon$ schneidet!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von $f$!

3. Berechnen Sie $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$!

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. In der Abbildung ist der Graph einer Kurve $g$ abgebildet. Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(-2)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist!

2. Von einer Funktion $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+6$ kennt man die Gleichung der Tangente $t_w:3y-12x=26$ im Wendepunkt $W(-2|y_w)$.

   Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

Der Punkt $P(-4|5)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f(x)=a{x}^2+1$.

Die Kurve $f$, die Tangente $t_p$ an die Kurve $f$ im Punkt $P$ und die y-Achse begrenzen ein Flächenstück.

1. Skizzieren Sie das Flächenstück!

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

Aufgabenstellung

1. Berechnen Sie

   $$\int 2x\left(\ln (x)-\frac{1}{\sqrt{7+x^2}}+\frac{x}{1-x}\right)dx$$

2. Berechnen Sie

   $$\sum _{n=1}^{25}(-1{)}^n(2-5n)$$

Aufgabenstellung

Von einem Medikament, dessen Wirksubstanz vom menschlichen Organismus exponentiell abgebaut wird, weiß man:

Innerhalb von 4 Stunden werden 30% der Wirksubstanz abgebaut.

Das Medikament wird in Form von Tabletten eingenommen, wobei jede Tablette 90 mg Wirksubstanz enthält. Eine Person nimmt um 7 Uhr in der Früh 2 Tabletten und um 12 Uhr mittags eine weitere Tablette ein.

1. Berechnen Sie die Halbwertszeit des Abbauprozesses!

2. Berechnen Sie die Menge der Wirksubstanz im Körper der Person um 13 Uhr!

3. Zu welcher Uhrzeit muss die Person die nächste Tablette einnehmen, damit die Menge der Wirksubstanz im Körper nicht unter 100 mg fällt?

Aufgabenstellung

Für die Markteinführung einer neuen Zeitschrift wurde eine Studie in Auftrag gegeben um den Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und Absatz zu ermitteln. Dabei hat sich gezeigt, dass ein linearer Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und verkaufter Stückzahl besteht. Die Verkaufszahl sinkt pro Cent Preiserhöhung um 50 Exemplare. Bei einem Preis von 3,50 € können 6500 Exemplare verkauft werden.

1. Bestimmen Sie die lineare Nachfragefunktion und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!

2. Wieviele Exemplare dieser Zeitschrift können maximal abgesetzt werden?

3. Ab welchem Preis wird kein einziges Exemplar mehr gekauft?

4. Bestimmen Sie jene Funktion, die die Einnahmen in Abhängigkeit vom Verkaufspreis angibt, geben Sie die Definitionsmenge an und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!

5. Berechnen Sie den Verkaufspreis, für den die Einnahmen maximal werden!

6. Wie hoch sind die maximalen Einnahmen?

7. Wieviele Exemplare werden in diesem Fall verkauft?