EPM January 2026

Von einem Viereck $ABCD$ kennt man die Seitenlängen

und den Winkel $\gamma =\angle BCD=118,5°$

Berechnen Sie den Winkel $\beta =\angle ABC$ des Vierecks!

Genauigkeit für das Ergebnis: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

Die Verwendungsdauer $x$ (in Jahren) für Handys eines bestimmten Typs ist durch den Graphen der Dichtefunktion $f$ gegeben.

(a) Berechnen Sie die Höhe des Trapezes!

(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Handy

 i. weniger als 1 Jahr lang genutzt wird!

 ii. weniger als zwei Jahre lang genutzt wird!

 iii. mindestens 3 Jahre lang genutzt wird!

(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Handy, das schon 4 Jahre lang genutzt wird,

 i. noch mindestens zwei weitere Jahre lang genutzt wird?

 ii. höchstens noch zwei weitere Jahre lang genutzt wird?

(d) Bestimmen Sie den Funktionsterm der Dichtefunktion!

Gegeben sind die Gerade $g$: $\vec{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ und der Punkt $P(9|-3|-4)$.

(a) Geben Sie eine Gleichung der Ebene $\epsilon$ an, auf der die Gerade $g$ und der Punkt $P$ liegen in Normalform an!

(b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden $h$ an, die auf die Ebene $\epsilon$ normal steht und den Punkt $Q(1|8|-5)$ enthält!

 i. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden $h$ mit der Ebene $\epsilon$!

 ii. Berechnen Sie den Normalabstand des Punkts $Q$ von der Ebene $\epsilon$!

(c) Berechnen Sie mit der Methode der Ortsvektoren die Koordinaten eines Punkts $R$, der den Normalabstand $d(R,\epsilon )=22$ von der Ebene $\epsilon$ hat!

(d) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Ebene $\epsilon$ und der $z$-Achse!

(a) Gegeben ist die Funktion

 i. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge der Funktion $f$

 ii. Berechnen Sie die Gleichungen der Asymptoten des Funktionsgraphen von $f$!

 iii. Berechnen Sie alle Intervalle auf denen die Funktion $f$ monoton wachsend ist!

(a) In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet.

Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(2)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist:

$g^{\prime }(2)\approx$ ______

(b) Von einer Funktion $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man:

Zeichnen Sie die bekannte Tangente und einen möglichen Funktionsgraphen der Funktion $h$ in einer Umgebung des Tangentialpunkts!

(c) Von einer Polynomfunktion dritten Grades kennt man die Gleichungen zweier Tangenten:

Die Tangente $t_P$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(-2|y_P)$ hat die Gleichung $t_P$: $\frac{7x}{12}+\frac{y}{6}=-1$

Die Tangente $t_Q$ an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(0|y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q$: $x=-\frac{2y}{5}-\frac{12}{5}$

 i. Geben Sie 4 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

 ii. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion $f$!

Die Funktionen $f$: $y=a{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{3}{2}$ und $g$: $y=3-(b-x{)}^2$ haben den gemeinsamen Punkt $S(1|3)$.

(a) Berechnen Sie $a$ und $b$!

(b) Die Funktionsgraphen von $f$ und von $g$ begrenzen ein endliches Flächenstück.

 i. Skizzieren Sie das Flächenstück!

 ii. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

(c) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen von $f$ an der Stelle $x_0=-2$!

(a) Berechnen Sie das folgende unbestimmte Integral!

(b) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte!

 i. $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+2\cos (x+2)}{x^2-(2+x)}$

 ii. $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+2\cos (x+2)}{x^2-2+x}$

(a) Ein exponentiell wachsender Schimmelpilz wächst in 11 Tagen um 90%.

 i. Um wieviel Prozent wächst der Schimmelpilz in 9 Tagen?

 ii. In welcher Zeit wächst der Schimmelpilz um 50%?

(b) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:

Genauigkeit für Ergebnisse: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

Berechnen Sie:

(a) $2+4\sqrt{3}+24+48\sqrt{3}+\dots +3456$

(b) $2+13+24+35+\dots +3456$

(c) $2-13+24-35+\dots +3456$

Durch die Punkte $E$ und $F$ verläuft eine Straße. Das Rechenzentrum $R$ liegt abseits der Straße im Gelände (Skizze!). Vom Punkt $E$ soll eine neue Stromleitung zum Rechenzentrum $R$ verlegt werden.

Entlang der Straße kostet die Verlegung 75 € pro Meter, im Gelände hingegen 125 € pro Meter.

• Entfernung $E$ bis $F$: 1200 m
• Senkrechter Abstand von $R$ zur Straße: 540 m

(a) Berechnen Sie, wo der Abzweigungspunkt gewählt werden soll (Entfernung von $E$), damit die Kosten für die Verlegung minimal werden!

(b) Geben Sie die Definitionsmenge jener Funktion an, die minimiert wird und skizzieren Sie ihren Graphen!

(c) Berechnen Sie die minimalen Kosten!