Aufgabenstellung

In einer Urne befinden sich vier grüne, drei rote und eine schwarze Kugel. Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

   1. die schwarze Kugel dabei ist!

   2. die drei Kugeln drei verschiedene Farben haben!

   3. die drei Kugeln die gleiche Farbe haben!

   4. genau eine rote Kugel gezogen wird!

   5. mindestens eine rote Kugel gezogen wird!

2. Folgendes Spiel wird vereinbart: Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Sind alle Kugeln rot, dann bekommt man 53€.

   Sind alle Kugeln grün, dann bekommt man 13€.

   Ist die schwarze Kugel dabei, dann muss man $X€$ bezahlen.

   Wie groß muss der Betrag $X$ gewählt werden, damit das Spiel fair ist?

Aufgabenstellung

Von einem Parallelogramm $ABCD$ kennt man die Längen der beiden Seiten $a=\overline{AB}=129,3\text{cm}$ und $b=\overline{BC}=54,7\text{cm}$ sowie die Länge der Diagonale $f=\overline{BD}=97,3\text{cm}$.

Berechnen Sie die Länge der Diagonale $e=\overline{AC}$ und die Länge der Höhe $h_a$ des Parallelogramms!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Ebene

1. Geben Sie eine Gleichung der Ebene $\epsilon$ in Normalform an!

2. Spiegeln Sie den Punkt $R(5\mid -8\mid 2)$ an der Ebene $\epsilon$! Fertigen Sie dazu eine Skizze an, die Ihre Lösungsstrategie demonstriert! Eine Rechnung ohne Skizze bringt keine Punkte!

3. Berechnen Sie den Winkel unter dem die $y$-Achse die Ebene $\epsilon$ schneidet!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

Die zweite Ableitung der Funktion

dürfen Sie ohne Berechnung verwenden.

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge über der Grundmenge $\mathbb{R}$ und die Nullstellen von $f$!

2. Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten der Funktion $f$ an!

3. Berechnen Sie die Extrem- und die Wendepunkte von $f$!

4. Skizzieren Sie die Asymptoten und den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. Von einer Funktion $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man:

   $g(4)=1$ und $g^{\prime }(4)=-3$

   1. Zeichnen Sie die durch diese Bedingungen gegebene Tangente!

   2. Skizzieren Sie eine mögliche Kurve $g$ in einer Umgebung des Tangentialpunkts im Koordinatensystem rechts!

2. Von einer Polynomfunktion dritten Grades kennt man die Gleichungen zweier Tangenten:

   Die Tangente $t_P$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(0\mid y_P)$ hat die Gleichung $t_P:5x+2y=8$

   Die Tangente $t_Q$ an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(-1\mid y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q:2y-x=12$

   1. Geben Sie 4 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

   2. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

Der Graph der Funktion $f:y=\sqrt{2x-2}$ und die Gerade

begrenzen ein Flächenstück.

1. Skizzieren Sie das Flächenstück!

2. Das Flächenstück rotiert um die $x$-Achse.

   Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers!

1. Berechnen Sie

   $$\int 9x^3\left(\frac{\ln (x)+5^{2-x^3}}{x}\right)dx$$

2. Berechnen Sie

   1. $$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{4-x^2}{2e^{x+2}+x}$$
   2. $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4-x^2}{2e^{x+2}+x}$$

Aufgabenstellung

Die Wirksubstanz eines Medikaments wird vom menschlichen Organismus exponentiell abgebaut. Beobachtungen haben ergeben, dass innerhalb von 8 Stunden 53% der Wirksubstanz abgebaut werden. Das Medikament wird in Form von Tabletten eingenommen, wobei jede Tablette 55 mg Wirksubstanz enthält. Eine Person nimmt um 6 Uhr in der Früh zwei Tabletten ein. Um 12 Uhr mittags nimmt sie eine weitere Tablette ein.

1. Wieviel mg Wirksubstanz befinden sich im Körper der Person um 13 Uhr?

   Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

2. Zu welcher Uhrzeit muss die Person die nächste Tablette einnehmen, damit die Menge der Wirksubstanz im Körper nicht unter 50 mg fällt?

3. Berechnen Sie die Halbwertszeit des Abbauprozesses!

   Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

Aufgabenstellung

Von einer positiven geometrischen Folge $a_n$ kennt man die Summe der beiden ersten Folgenglieder $s_2=18$ und das dritte Folgenglied $a_3=3$.

1. Bestimmen Sie das erste Folgenglied $a_1$ der Folge $a_n$!

2. Berechnen Sie die Summe der ersten 10 Folgenglieder!

3. Berechnen Sie die Summe aller Folgenglieder!

Aufgabenstellung

Von einem Rechteck ist der Umfang $u=150\text{cm}$ gegeben.

Die Seitenlängen des Rechtecks sollen so gewählt werden, dass das Rechteck maximalen Flächeninhalt hat.

1. Bestimmen Sie die Funktion, welche maximiert werden soll und geben Sie ihre Definitionsmenge an!

2. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion!

3. Berechnen Sie die Seitenlängen, für die der Flächeninhalt maximal wird!