Aufgabenstellung

An der abgebildeten Zielscheibe wurden durch Beobachtungen Trefferwahrscheinlichkeiten ermittelt: Mit der Wahrscheinlichkeit von einem Achtel treffen Schüsse in den inneren schwarzen Bereich. Der weiße ringförmige Bereich wird mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ getroffen und mit 50% Wahrscheinlichkeit wird der äußere graue ringförmige Bereich getroffen. Die restlichen Schüsse treffen die Zielscheibe nicht.

1. Es werden 3 Schüsse abgegeben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

   Ereignis A: Die beiden ersten Schüsse treffen in den inneren schwarzen Kreis und der dritte Schuss trifft in den weißen Ring.

   Ereignis B: Alle drei Bereiche der Zielscheibe werden jeweils einmal getroffen, wobei die Reihenfolge egal ist.

   Ereignis C: Mindestens ein Schuss trifft die Zielscheibe nicht.

2. Folgendes Spiel wird vereinbart: Man darf dreimal schießen. Trifft man dreimal, so bekommt man 170€, tritt Ereignis B ein, so bekommt man 7€. Bei Ereignis C muss man X Euro zahlen. Bei allen anderen Ereignissen muss man nichts bezahlen und bekommt auch nichts. Bestimmen Sie X so, dass das Spiel fair ist!

3. Berechnen Sie, wie viele Schüsse mindestens abgegeben werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer in den inneren schwarzen Bereich größer als 99,5% ist.

Aufgabenstellung

Von einem Trapez $ABCD$ mit den Parallelseiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ kennt man die Längen

und den Winkel $\delta =\angle CDA=126,4^{\circ }$.

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{AD}$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Gegeben ist die Ebene

1. Geben Sie zwei Punkte $P$ und $Q$ an, die auf der Ebene $\epsilon$ liegen!

2. Geben Sie eine Gleichung einer Geraden $g$ an, die in der Ebene $\epsilon$ liegt!

3. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $h$ an, die normal auf die Ebene $\epsilon$ steht und den Punkt $A(13\mid -10\mid 4)$ enthält!

   1. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $h$ mit der Ebene $\epsilon$!

   2. Berechnen Sie den Normalabstand $d(B,h)$ des Punkts $B(5\mid 0\mid -7)$ von der Geraden $h$!

4. Verwenden Sie die Methode der Ortsvektoren um die Koordinaten eines Punkts $R$ zu berechnen, der den Normalabstand $d(R,\epsilon )=28$ von der Ebene $\epsilon$ hat!

Hinweis für (a), (b) und (c):

Unten sehen Sie eine Skizze mit einer Ebene $\epsilon$. Zeichnen Sie die Punkte $P$ und $Q$ und die Gerade $g$ sowie einen Punkt $A$ und eine Gerade $h$ in diese Skizze!

Gegeben ist die Funktion

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von $f$!

3. Berechnen Sie

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)\text{und}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$$

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet. Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(-1)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist!

2. Von einer Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ist folgendes bekannt:

   
   

   $f$ hat einen Wendepunkt $W(-2\mid y_W)$ mit der Wendetangente: $t_W:5y-3x=8$

   
   

   Die Tangente an $f$ im Punkt $P(3\mid y_P)$ hat die Gleichung $t_P:x+4y=-1$

   
   

   Geben Sie 5 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

Der Graph der Funktion $f:y=\sqrt{2-2x}$ und die Gerade

begrenzen ein Flächenstück.

1. Skizzieren Sie das Flächenstück!

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

3. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(-1\mid y_P)$!

Berechnen Sie

1. Ein Lichtstrahl, der in Wasser eindringt, wird exponentiell geschwächt. Nach 11 Metern hat der Lichtstrahl noch 20% seiner Anfangsintensität.

   1. Wieviel Prozent an Intensität verliert der Lichtstrahl pro Meter?

   2. Wieviel Meter Wasser muss der Lichtstrahl durchdringen, damit er 88% an Intensität verliert?

2. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:

   
   $\ln (3-x)-\ln (x+1)-3=0$

Genauigkeit für die Ergebnisse aller Aufgaben: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

Berechnen Sie

1. $2+2\sqrt{5}+10+10\sqrt{5}+\dots +1250\sqrt{5}+6250=$
2. $2+24+46+68+\dots +6228+6250=$
3. $2-24+46-68+\dots -6228+6250=$

Aufgabenstellung

Durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft eine Straße. Eine Fabrik $F$ liegt abseits der Straße im Gelände (Skizze!). Vom Punkt $P$ soll eine neue Wasserleitung zur Fabrik $F$ verlegt werden. Entlang der Straße kostet die Verlegung 240€ pro Meter, im Gelände hingegen 300€ pro Meter.

1. Berechnen Sie, wo der Abzweigungspunkt $Q$ gewählt werden soll (Entfernung von $P$), damit die Kosten für die Verlegung minimal werden!

2. Skizzieren Sie den Graphen jener Funktion, die minimiert wird!

3. Berechnen Sie die minimalen Kosten!