VGUH Jänner 2024, задача 5

Gegeben ist die Funktion $f:y=1-a\cdot \cos \left(\frac{x}{2}\right)$, $a\in \mathbb{R}$.

1. Bestimmen Sie $a$ so, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=\frac{\pi }{3}$ die Steigung $\frac{1}{4}$ besitzt.

2. Berechnen Sie die Extrempunkte von $f:y=1-\cos \left(\frac{x}{2}\right)$ im Intervall $(-\pi ;3\pi )$; die Art der Extrempunkte ist auch anzugeben.

3. Die Gerade $g:y=\frac{x}{\pi }$ schneidet $f$ aus b) an den drei Stellen $0$, $\pi$ und $2\pi$. Berechnen Sie den Inhalt jener Fläche, die von $f$ und $g$ im Intervall $[0;2\pi ]$ begrenzt wird.