VGUH Jänner 2024

Von der Spitze eines Segelmastes, die sich $9,2\text{m}$ über dem Meeresspiegel befindet, sieht man die Spitze eines Leuchtturms unter dem Höhenwinkel $\alpha =1,9°$. Das Spiegelbild dieser Leuchtturmspitze auf der Meeresoberfläche erscheint von der Segelmastserspitze aus unter dem Tiefenwinkel $\beta =4,3°$. Wie hoch über dem Meeresspiegel befindet sich die Spitze dieses Leuchtturms?

Skizze: Segelmast und Leuchtturm mit Spiegelung auf Meeresoberfläche

(Anmerkung: Die in der Skizze markierten Winkel sind alle gleich groß.)

Gegeben sind die Punkte $A(2/-3/6)$, $B(3/1/14)$, $C(-1/1/13)$, $P(8/12/9)$.

1. Geben Sie die Gleichung der Ebene $\epsilon$, in der das Dreieck $ABC$ liegt, in Normalform an.

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ und den Winkel $\angle ABC$.

3. Berechnen Sie die Höhe und das Volumen des Tetraeders $ABCP$.

4. Bestimmen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes $P^{\ast }$ des Punktes $P$ bezüglich der Ebene $\epsilon$.

Der Computer-Virus „Alpha" verbreitete sich exponentiell über E-Mail. Dadurch wurden Millionen von Computern infiziert. Anfangs auf einem Computer, waren nach $24$ Stunden bereits $200$ Computer infiziert.

1. Geben Sie ein Wachstumsgesetz an. Wie viele Computer waren nach $72$ Stunden mit dem Virus infiziert?

2. In welchem Zeitraum verdoppelte sich die Anzahl der infizierten Computer?

3. Ein zweiter Virus „Beta" verbreitete sich gleichzeitig mit dem „Alpha"–Virus. Die Gleichung $B(t)=42000\cdot 1,08^t$ beschreibt das exponentielle Wachstum von „Beta". Nach wie vielen Stunden waren beim „Alpha"–Virus halb so viele Computer infiziert wie beim „Beta"–Virus?

(Ersatzangabe für das Wachstumsgesetz von „Alpha" falls a) nicht gelöst: $A(t)=3\cdot {\sqrt[12]{100}}^t$)

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\left(2-\frac{x}{3}\right)\cdot \sqrt{x}$, $x\ge 0$.

1. In der rechten Nullstelle von $f$ wird die Normale $n$ auf $f$ errichtet. Geben Sie die Gleichung von $n$ in Normalform an.

2. $f$ rotiert um die $x$-Achse. Dadurch entsteht zwischen den Nullstellen von $f$ ein „mandelförmiger" Körper. (Skizze!) Berechnen Sie sein Volumen.

Gegeben ist die Funktion $f:y=1-a\cdot \cos \left(\frac{x}{2}\right)$, $a\in \mathbb{R}$.

1. Bestimmen Sie $a$ so, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=\frac{\pi }{3}$ die Steigung $\frac{1}{4}$ besitzt.

2. Berechnen Sie die Extrempunkte von $f:y=1-\cos \left(\frac{x}{2}\right)$ im Intervall $(-\pi ;3\pi )$; die Art der Extrempunkte ist auch anzugeben.

3. Die Gerade $g:y=\frac{x}{\pi }$ schneidet $f$ aus b) an den drei Stellen $0$, $\pi$ und $2\pi$. Berechnen Sie den Inhalt jener Fläche, die von $f$ und $g$ im Intervall $[0;2\pi ]$ begrenzt wird.

Gegeben ist die Kurve $k:y=4x-x^2$. $k$ und die $x$-Achse begrenzen ein endliches Flächenstück (im 1. Quadranten). In dieses Flächenstück wird ein Rechteck so eingeschrieben, dass es symmetrisch zur Geraden $g:x=2$ ist, zwei Eckpunkte auf dem Graphen von $k$ liegen und eine Seite auf der $x$-Achse liegt. Wie sind die Länge und die Breite dieses Rechtecks zu wählen, damit sein Flächeninhalt möglichst groß ist?

Bei einem sog. „gefälschten" Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit die Augenzahl „2" zu würfeln, $\frac{1}{5}$.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei $5$ Würfen genau $2$ Zweier zu erhalten?

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei $10$ Würfen mindestens einmal eine Zwei zu erhalten?

3. Wie oft muss dieser Würfel geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\%$ mindestens einmal eine Zwei zu erhalten?

4. Der Würfel wird $100$ Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens $10$ Mal eine Zwei zu würfeln?