VGUH Februar 2024

Ein Grundstück hat die Form eines allgemeinen Vierecks $ABCD$ mit den Abmessungen $a=AB=80\text{m}$, $b=BC=120\text{m}$, $d=AD=40\text{m}$, $\angle DAB=120°$, $\angle ABC=107,3°$.

1. Berechnen Sie Umfang und Fläche des Grundstücks.
2. Man möchte aus diesem Grundstück ein flächengleiches rechteckiges Bauland machen, indem man eine neue Grenze parallel zur Seite $AB$ durch $C$ legt. Welche Abmessungen (Länge, Breite) hat das neue Grundstück?

Das radioaktive Isotop Tritium (${}^3\text{H}$) kann zur Altersbestimmung von Wein verwendet werden. Es hat eine Halbwertszeit von $12,26$ Jahren.

1. Ermitteln Sie die Zerfallskonstante und geben Sie ein Zerfallsgesetz an.
2. Wie alt ist ein Wein, in dem ein ${}^3\text{H}$-Gehalt von $12,3\%$ der ursprünglichen Menge gemessen wurde?
3. Welchen ${}^3\text{H}$-Gehalt müsste $50$ Jahre alter Wein aufweisen, wenn die durchschnittliche Menge in frischem Wein in etwa $65,1$ beträgt?

Das Dreieck $ABC$ [$A(-7/0)$, $B(3/-10)$, $C(9/8)$] ist gegeben.

Berechnen Sie seinen Umkreismittelpunkt und geben Sie die Gleichung des Umkreises an.

Gegeben sind die Punkte $A(6/-2/0)$, $B(-3/-6/1)$, $C(3/2/3)$, $D(0/5/2)$.

1. Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene $\epsilon$, die durch $A$, $B$, $C$ festgelegt ist. Zeigen Sie, dass $D$ nicht in $\epsilon$ liegt und berechnen Sie den Abstand von $D$ zu $\epsilon$.
2. Wie groß ist das Volumen des von den Punkten $A$, $B$, $C$ und $D$ erzeugten Tetraeders?

Gegeben ist die Funktion $f(x)=4e^{-x}-e^{-2x}$ in $\mathbb{R}$.

1. Berechnen Sie Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte und skizzieren Sie den Graphen im Intervall $[-1,5;3]$. Geben Sie auch die Art der Extrempunkte an.
2. Berechnen Sie die Fläche, die von der Geraden $g:x=a$, $a>0$, dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird. Rechnen Sie zuerst für allgemeines $a$. Welchen Wert hat diese Fläche für $a_1=10$ bzw. $a_2=100$? Was fällt Ihnen auf?

Ein Glas hat außen die Form eines $12\text{cm}$ hohen Kegelstumpfes. Die innere Begrenzung hat die Form eines Paraboloids: Der Querschnitt entsteht durch Rotation der Parabel $y=a{x}^2+b$ um die $y$-Achse. Die innere Höhe beträgt $11\text{cm}$, der innere obere Durchmesser $6\text{cm}$.

1. Bestimmen Sie die Parabelgleichung.
2. Wie viel Saft wird in das Glas gefüllt, wenn die Füllmarke $8\text{mm}$ vom oberen Rand entfernt ist?
3. Wie hoch steht die Flüssigkeit in jedem Glas, wenn $1$ Liter auf $8$ Gläser gleichmäßig verteilt wird?

In einer Großstadt sind erfahrungsgemäß $6\%$ aller U-Bahnfahrgäste SchwarzfahrerInnen.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem U-Bahn-Waggon mit $50$ Fahrgästen mindestens $3$ SchwarzfahrerInnen befinden?
2. Wie viele Fahrgäste müsste man kontrollieren, damit mit mindestens $95\%$-iger Wahrscheinlichkeit mindestens ein/e Schwarzfahrer/in darunter ist?

Die Größe von $18$-jährigen Burschen ist normalverteilt mit dem Erwartungswert $180\text{cm}$ und der Standardabweichung $6\text{cm}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein $18$-jähriger Bursch zwischen $170$ und $185\text{cm}$ groß ist?