VGUH März 2024

Gegeben sind: $\alpha =48,7°$, $\beta =77,2°$, $\delta =6,2°$, $\overline{AB}=420\text{m}$ (s. Skizze).

Auf einer dem Festland vorgelagerten Insel im Meer steht ein Leuchtturm der Höhe $h=\overline{CT}$ (s. Skizze). Um die Turmhöhe zu bestimmen, ist am Strand eine Standlinie $\overline{AB}$ abgesteckt. Die Winkel $\alpha$, $\beta$ und der Höhenwinkel $\delta$ werden gemessen. Die Punkte $A$, $B$ und $C$ liegen in einer Ebene senkrecht zum Turm.

Skizze: Leuchtturm auf Insel mit Standlinie AB und Winkeln α, β, δ

1. Berechnen Sie die Höhe $h$ des Leuchtturms.

2. Ein Schiff sendet an der Stelle $F\in \overline{BC}$ ein Nebelhornsignal aus, das in der Turmspitze $T$ genau $1$ Sekunde später empfangen wird. Der Schall legt in einer Sekunde $344\text{m}$ zurück. Wie weit war das Schiff zu diesem Zeitpunkt von $C$ bzw. $A$ entfernt?

Die Punkte $A(3/3/-2)$, $B(5/7/2)$ und $C(3/8/4)$ bestimmen eine Ebene $\epsilon$, gegeben ist außerdem noch der Punkt $D(1/4/0)$.

1. Geben Sie die Gleichung von $\epsilon$ in Normalform und die Gleichung der Geraden $g_{CD}$ durch $C$ und $D$ an.

2. Zeigen Sie, dass $D$ auch in $\epsilon$ liegt und das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist. Berechnen Sie die Winkel, die Höhe $h_a$ des Parallelogramms $ABCD$ ($h_a$ ist die Höhe auf die Seite $\overline{AB}$) und den Flächeninhalt von $ABCD$. (Skizze!)

3. Für welche Punkte $P$ auf der Geraden $g$ erscheint die Strecke $\overline{AB}$ unter einem rechten Winkel?

Nach Schätzungen aus dem Jahre $1994$ beliefen sich die Reserven des Rohstoffs Nickel auf $51$ Millionen Tonnen. Im Jahr $1994$ betrug der Verbrauch von Nickel $0,8$ Millionen Tonnen. Außerdem wird die jährliche Zuwachsrate des Verbrauchs auf $2,9\%$ geschätzt.

1. Geben Sie das Wachstumsgesetz für den Nickelverbrauch an, wenn exponentielles Wachstum zugrunde liegt. Geben Sie auch die Wachstumskonstante $\lambda$ an.

2. In wie vielen Jahren hat sich der jährliche Verbrauch verdoppelt?

3. In welchem Jahr würde man etwa $10\%$ der Nickel-Reserve des Jahres $1994$ verbrauchen?

Ermitteln Sie das Krümmungsverhalten der Funktion $f(x)=x^2\cdot e^x$.

Eine Kurve $k$ hat die Gleichung $k(x)=5\sqrt{x}-\frac{1}{2}x$. Der Teil von $k$, der zwischen den Nullstellen liegt, rotiert um die $x$-Achse. Berechnen Sie das Volumen dieses Rotationskörpers.

Gegeben sind die Funktionenscharen $f_a:y=-a{x}^2+4$ und $g_a:y=\frac{1}{4}{a}^2{x}^2-a$ mit positivem, reellem $a$.

1. Berechnen Sie die Schnittpunkte der Funktionen $f_a$ und $g_a$ für beliebiges $a$.

2. Berechnen Sie den Inhalt $F(a)$ der Fläche zwischen den beiden Graphen von $f_a$ und $g_a$ in Abhängigkeit von $a$ und zeichnen Sie eine Skizze für $a=1$, $E_x=E_y=2\text{cm}$.

3. Für welches $a$ wird dieser Flächeninhalt $F(a)$ ein Extremum? (Ersatzangabe falls b) nicht gelöst wird: $F(a)=\frac{8a+32}{3\sqrt{a}}$)

In einem Laborversuch zeigt sich ein bestimmter unerwünschter Nebeneffekt mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,5\%$. Der Versuch wird zehnmal durchgeführt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Effekt mindestens zweimal eintritt?

Bei einem Gewinnspiel, bei dem üblicherweise $55\%$ Frauen teilnehmen, werden $200$ Preise ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den Gewinnern mindestens $100$ aber höchstens $125$ Frauen befinden?