Четырёхпольная таблица (Vierfeldertafel)

15 мин · 2 упражнения

Зачем нужна эта таблица?

Рассмотрим ситуацию: в условии задачи написано «70% привиты, из привитых 5% заболели, из непривитых 20% заболели». Голова кругом от процентов!

Vierfeldertafel (по-немецки «четырёхпольная таблица»): простой способ разложить всё по полочкам. Вместо того чтобы жонглировать процентами в голове, мы заносим всё в таблицу и видим полную картину.

На экзамене EPM такие задачи встречаются одними из самых частых. Хорошая новость: если освоить таблицу, они решаются почти механически.

---

Как устроена таблица

Идея простая: у нас есть люди (или предметы), и мы делим их по двум признакам. Например:

• Признак А: привит / не привит
• Признак B: заболел / не заболел

Получается 4 группы, отсюда и название «четырёхпольная»:

Главное правило таблицы: числа в строке складываются в итог строки, числа в столбце складываются в итог столбца. Это как судоку: если известна часть чисел, остальные можно вычислить.

---

Как заполнять таблицу: пошаговый разбор

Разберём на конкретном примере.

Условие: 70% населения вакцинировано. Среди вакцинированных 5% заболели. Среди невакцинированных 20% заболели.

Шаг 1: Выбираем удобное общее число

Проценты являются долями от целого. Чтобы не путаться с дробями, представим, что у нас ровно 1000 человек (можно взять 100, но 1000 удобнее, когда проценты дробные).

Шаг 2: Заполняем то, что знаем напрямую

• Вакцинированных: 70% от 1000 = 700 человек
• Невакцинированных: остальные = 300 человек

Шаг 3: Переводим «из них X% заболели»

Тут важно не запутаться! «Из вакцинированных 5% заболели» значит:

• Берём 700 вакцинированных
• Считаем 5% от 700 (а не от 1000!)
• Получаем: $700\times 0,05=35$ человек

Аналогично для невакцинированных:

• 20% от 300 = $300\times 0,2=60$ человек

Шаг 4: Достраиваем остальное

Теперь просто арифметика:

• Здоровых вакцинированных: $700-35=665$
• Здоровых невакцинированных: $300-60=240$
• Всего заболевших: $35+60=95$
• Всего здоровых: $665+240=905$

Шаг 5: Проверяем

Складываем итоги: $95+905=1000$ ✓

Теперь из этой таблицы можно ответить на любой вопрос!

---

Как считать вероятности из таблицы

Обычная вероятность: «какова вероятность, что случайный человек заболел?»

Это самое простое. Смотрим: всего 1000 человек, заболели 95.

$$P(\text{заболел})==\frac{\text{сколько заболело}}{\text{сколько всего}}==\frac{95}{1000}==0,095$$

Интуиция: если наугад выбрать человека из толпы в 1000, примерно 95 из них будут больными. Шанс «попасть» на больного составляет 95 из 1000.

Условная вероятность: «если человек заболел, какова вероятность, что он был привит?»

Тут хитрее. Нам говорят: «человек уже заболел». Это значит, что мы выбираем не из всех 1000, а только из 95 заболевших.

Среди этих 95 заболевших привитых насчитывается 35 человек.

$$P(\text{привит}\mid \mid \text{заболел})==\frac{35}{95}==\frac{7}{19}\approx \approx 0,37$$

Интуиция: рассмотрим только больных людей (95 человек). Сколько из них были привиты? 35. Вот и ответ: 35 из 95.

Главное отличие

• Обычная вероятность: делим на общее число (все 1000)
• Условная вероятность: делим на число тех, про кого уже что-то известно (только заболевшие, только привитые и т.д.)

Палочка «|» читается как «при условии, что». $P(A|B)$ означает вероятность A при условии, что уже известно: случилось B.

---

Осторожно: частая ловушка!

$P(\text{привит}|\text{заболел})$ и $P(\text{заболел}|\text{привит})$ дают разные числа!

Из нашей таблицы:

• $P(\text{привит}|\text{заболел})=\frac{35}{95}\approx 0,37$ (среди больных 37% привиты)
• $P(\text{заболел}|\text{привит})=\frac{35}{700}=0,05$ (среди привитых 5% заболели)

Это как утверждение «все кошки являются животными» не означает «все животные являются кошками».

---

Пример с неполной таблицей

Часто на экзамене дают таблицу с пропусками. Это не страшно: используем правило сумм.

Задача:

Решаем как пазл:

1. Сколько учившихся сдали? В строке «Учился» итог 60, не сдали 15. Значит сдали: $60-15=45$

2. Сколько не учились? Всего 100, учились 60. Значит: $100-60=40$

3. Сколько не учившихся не сдали? В строке «Не учился» итог 40, сдали 20. Значит: $40-20=20$

4. Итоги по столбцам: сдали $45+20=65$, не сдали $15+20=35$

---

Независимость событий

Иногда спрашивают: «Зависит ли болезнь от вакцинации?» или «Независимы ли события A и B?»

Интуиция: события независимы, если знание об одном ничего не говорит о другом. Например, цвет носков никак не влияет на оценку на экзамене. Это независимые события.

Как проверить по таблице:

Если события независимы, то доля B среди A такая же, как доля B среди всех:

$$P(B\mid \mid A)==P(B)$$

Или в другой форме: вероятность «и того, и другого» равна произведению отдельных вероятностей:

$$P(A\cap \cap B)==P(A)\times \times P(B)$$

Пример:

Проверим:

• $P(A)=50/100=0,5$
• $P(B)=40/100=0,4$
• $P(A\cap B)=20/100=0,2$
• $P(A)\times P(B)=0,5\times 0,4=0,2$ ✓

Равны! Значит A и B независимы.

---

Разобранные примеры

Пример 1: Заполнение таблицы

В школе 400 учеников, из них 180 занимаются спортом. Из них 240 девочки, из которых 100 занимаются спортом.

Расчёт: Всего мальчиков: $400-240=160$. Мальчиков со спортом: $180-100=80$. Мальчиков без спорта: $160-80=80$.

$P(\text{Спорт}|\text{Девочки})=\frac{100}{240}\approx 0,417$ $P(\text{Спорт}|\text{Мальчики})=\frac{80}{160}=0,5$

Ответ: Мальчики занимаются спортом чаще (50% против 41,7%).

Пример 2: Проверка независимости

Из таблицы выше: независимы ли «Спорт» и «Пол»?

$P(\text{Спорт})=\frac{180}{400}=0,45$ $P(\text{Спорт}|\text{Девочки})=\frac{100}{240}\approx 0,417\ne 0,45$

Так как $P(\text{Спорт}|\text{Девочки})\ne P(\text{Спорт})$, события не являются независимыми.

---

Типичные ошибки на экзамене

Ошибка 1: Перепутать «из них» и «от всех»

«Из привитых 5% заболели» означает 5% от привитых, а не от всех!

Неправильно: $1000\times 0,05=50$

Правильно: $700\times 0,05=35$

Ошибка 2: Перепутать P(A|B) и P(B|A)

Важно внимательно читать вопрос:

• «Если заболел, какова вероятность, что привит?» → ищем среди заболевших
• «Если привит, какова вероятность заболеть?» → ищем среди привитых

Ошибка 3: Забыть проверить суммы

После заполнения таблицы необходимо убедиться:

• Каждая строка сходится к своему итогу
• Каждый столбец сходится к своему итогу
• Общий итог = N

Если что-то не сходится, значит где-то допущена арифметическая ошибка.

---

Шпаргалка

Обычная вероятность:

$$P(A)==\frac{\text{сколько с признаком A}}{\text{сколько всего}}$$

Условная вероятность (A при условии B):

$$P(A\mid \mid B)==\frac{\text{сколько с A и B одновременно}}{\text{сколько всего с B}}$$

Независимость: $P(A|B)=P(A)$ или $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

Главный лайфхак: всегда стройте таблицу. Даже если кажется, что можно решить «в уме», таблица убережёт от ошибок.

---

Проверьте себя

Ваша очередь1 из 2

В фирме 25% сотрудников работают неполный день. Из работающих неполный день 14% ездят на работу поездом, из работающих полный день 2%. Какая доля тех, кто ездит поездом, работает неполный день?

A87,5% тех, кто ездит поездомB14% тех, кто ездит поездомC70% тех, кто ездит поездомD56% тех, кто ездит поездом

Проверить

Ваша очередь2 из 2

Из 250 опрошенных 150 регулярно занимаются спортом, а 125 вегетарианцы. 50 опрошенных занимаются спортом, но не вегетарианцы. Какую долю среди занимающихся спортом составляют вегетарианцы?

A$\frac{2}{3}$ занимающихся спортомB$\frac{3}{5}$ занимающихся спортомC$\frac{4}{5}$ занимающихся спортомD$\frac{1}{2}$ занимающихся спортом

Проверить

---

Формулы для запоминания

Правило сумм: Каждая строка и столбец четырёхпольной таблицы в сумме дают маргинальный итог.

Условная вероятность: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Независимость: $A$ и $B$ независимы $\iff$ $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Противоположное событие: $P(\bar{A})=1-P(A)$

Объединение: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, равносильно $P(A\cup B)=1-P(\bar{A}\cap \bar{B})$

Совет к экзамену: Всегда сначала заполняйте итоговые значения по краям, затем внутренние ячейки. Так вы избежите арифметических ошибок.