Функция плотности вероятности

15 мин · 2 упражнения

Зачем нужна плотность?

Представьте, что вы ждёте автобус. Он приходит «примерно каждые 10 минут». Сколько вы будете ждать: 3 минуты? 7.5 минут? 9.234 минуты? Время ожидания может быть любым числом от 0 до 10.

Это отличается от броска кубика, где результат принимает только значения 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Никаких 3.7 или 5.123.

Для непрерывных величин мы не можем спросить «какова вероятность ждать ровно 3 минуты?». Ответ всегда ноль: между 2.999 и 3.001 бесконечно много чисел, и шанс попасть в одну конкретную точку равен нулю.

Вместо этого мы спрашиваем: «какова вероятность ждать от 2 до 5 минут?». Вот тут нам и нужна плотность.

---

Главная идея: вероятность = площадь

Функция плотности $f(x)$ показывает, где значения «сконцентрированы»: чем выше кривая в какой-то точке, тем чаще значения попадают в эту область.

Вероятность попасть в интервал = площадь под кривой на этом интервале.

$$\boxed{P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx}$$

Интеграл как раз и есть площадь. Поэтому ${\int }_a^{b}f(x)dx$ даёт нам вероятность.

---

Почему площадь всегда равна 1?

Вероятность того, что случится хоть что-то, равна 100%, или 1. Значит, общая площадь под всей кривой плотности должна равняться 1:

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1}$$

Это называется условие нормировки. Если функция задана только на отрезке $[a,b]$, то:

$${\int }_a^{b}f(x)dx==1$$

Это условие служит главным инструментом для нахождения неизвестных констант в задачах.

---

Как найти константу

Задача: Дана функция $f(x)=c\cdot x$ на $[0,2]$, и $f(x)=0$ вне этого интервала. Найти $c$.

Логика решения: Раз это плотность, площадь под ней должна быть равна 1.

Решение:

Считаем площадь (интеграл) и приравниваем к 1:

$${\int }_0^{2}c\cdot \cdot xdx==1$$

Интеграл от $x$ равен $\frac{x^2}{2}$. Подставляем пределы:

$$c\cdot \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^2==c\cdot \cdot \left(\frac{4}{2}-\frac{0}{2}\right)==c\cdot \cdot 2==1$$

Отсюда:

$$c==\frac{1}{2}$$

Проверка: Площадь треугольника с основанием 2 и высотой $f(2)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$ равна $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$. Сходится!

---

Как считать вероятности

Когда константа найдена, считаем вероятность как площадь на нужном интервале.

Пример: Плотность $f(x)=\frac{1}{2}x$ на $[0,2]$. Найти $P(1\le X\le 2)$.

Нам нужна закрашенная площадь (трапеция). Можно посчитать геометрически или через интеграл:

$$P(1\le \le X\le \le 2)=={\int }_1^2\frac{1}{2}xdx==\frac{1}{2}\cdot \cdot \frac{x^2}{2}{|}_1^2==\frac{1}{4}(4-1)==\frac{3}{4}$$

То есть в 75% случаев значение будет от 1 до 2.

---

Равномерное распределение: самый простой случай

Когда все значения одинаково вероятны, плотность представляет собой горизонтальную линию.

Пример: Автобус приходит каждые 15 минут. Вы приходите на остановку в случайный момент. Время ожидания равномерно распределено от 0 до 15.

Плотность: $f(x)=\frac{1}{15}$ на отрезке $[0,15]$.

Почему $\frac{1}{15}$? Потому что площадь прямоугольника $15\times h=1$, значит $h=\frac{1}{15}$.

Какова вероятность ждать не более 5 минут?

$$P(X\le \le 5)==\frac{5}{15}==\frac{1}{3}\approx \approx 33\%$$

Для равномерного распределения вероятность вычисляется как простое отношение длин отрезков!

Формула для равномерного распределения на $[a,b]$:

$$f(x)==\frac{1}{b-a}$$

---

Математическое ожидание: «средний» результат

Математическое ожидание $E(X)$ называют «центром тяжести» распределения. Если повторить эксперимент много раз и усреднить результаты, получим примерно $E(X)$.

$$\boxed{E(X)=\int x\cdot f(x)dx}$$

Почему такая формула? Мы берём каждое значение $x$, умножаем на его «вес» $f(x)$ (насколько оно вероятно), и суммируем (интегрируем).

Пример: $f(x)=\frac{1}{2}x$ на $[0,2]$.

Где «центр» этого распределения? Плотность выше справа (при $x=2$ плотность максимальна), значит центр сдвинут вправо от середины отрезка.

$$E(X)=={\int }_0^{2}x\cdot \cdot \frac{1}{2}xdx==\frac{1}{2}{\int }_0^2{x}^{2}dx==\frac{1}{2}\cdot \cdot \frac{8}{3}==\frac{4}{3}\approx \approx 1,33$$

Середина отрезка $[0,2]$ равна 1, но наше $E(X)=1,33$ находится правее: значения «сконцентрированы» ближе к 2.

Для равномерного распределения:

$$E(X)==\frac{a+b}{2}$$

Просто середина отрезка, что логично: ведь все значения равновероятны.

---

Функция распределения F(x)

Иногда вместо плотности $f(x)$ дают функцию распределения $F(x)$.

$F(x)$ показывает вероятность того, что значение окажется меньше $x$:

$$F(x)==P(X<<x)$$

Связь:

• $F(x)$: интеграл от $f(x)$
• $f(x)$: производная от $F(x)$

$$F(x)=={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt\text{и}f(x)==F^{\prime }(x)$$

Свойства $F(x)$:

• $F(-\infty )=0$ (вероятность, что $X$ меньше минус бесконечности, равна нулю)
• $F(+\infty )=1$ (вероятность, что $X$ меньше плюс бесконечности, равна 100%)
• $F(x)$ всегда растёт (или остаётся на месте)

Полезная формула:

$$P(a\le \le X\le \le b)==F(b)--F(a)$$

---

Полный пример решения

Задача: Случайная величина $X$ имеет плотность, график которой представляет собой треугольник на отрезке $[0,4]$ с вершиной в точке $x=2$.

a) Найти высоту $h$.

b) Записать $f(x)$ по частям.

c) Найти $P(1\le X\le 3)$.

Решение:

a) Находим $h$ из условия нормировки:

Площадь треугольника = 1:

$$\frac{1}{2}\cdot \cdot 4\cdot \cdot h==1⟹⟹h==\frac{1}{2}$$

b) Записываем $f(x)$ по частям:

Левая сторона треугольника: прямая от $(0,0)$ до $(2,\frac{1}{2})$:

$$f(x)==\frac{x}{4},0\le \le x\le \le 2$$

Правая сторона: прямая от $(2,\frac{1}{2})$ до $(4,0)$:

$$f(x)==\frac{4-x}{4},2<<x\le \le 4$$

Вне отрезка $[0,4]$: $f(x)=0$.

c) Находим $P(1\le X\le 3)$:

Интервал $[1,3]$ пересекает обе части, разбиваем в точке $x=2$:

$$P(1\le \le X\le \le 3)=={\int }_1^2\frac{x}{4}dx++{\int }_2^3\frac{4-x}{4}dx$$

Первый интеграл:

$${\int }_1^2\frac{x}{4}dx==\frac{1}{4}\cdot \cdot \frac{x^2}{2}{|}_1^2==\frac{1}{8}(4-1)==\frac{3}{8}$$

Второй интеграл:

$${\int }_2^3\frac{4-x}{4}dx==\frac{1}{4}{\left[4x-\frac{x^2}{2}\right]}_2^3==\frac{1}{4}\left[\left(12-\frac{9}{2}\right)-\left(8-2\right)\right]==\frac{1}{4}\cdot \cdot \frac{3}{2}==\frac{3}{8}$$

Итого:

$$P(1\le \le X\le \le 3)==\frac{3}{8}++\frac{3}{8}==\frac{3}{4}$$

Это логично: симметричный интервал вокруг вершины содержит 75% вероятности.

---

Типичные ошибки

Ошибка 1: Забыть про нормировку

Если вам дали $f(x)$ и не сказали, что это плотность, проверьте сами: интеграл должен быть равен 1.

Ошибка 2: Интегрировать там, где $f(x)=0$

Если $f(x)=0$ вне $[0,2]$, то при подсчёте $P(X\le 5)$ интегрируем только до 2, не до 5.

Ошибка 3: Путать $f(x)$ и $F(x)$

• $f(x)$: плотность (может быть больше 1!)
• $F(x)$: вероятность (всегда от 0 до 1)

Ошибка 4: Считать $P(X=a)\ne 0$

Для непрерывной величины вероятность попасть в точку всегда ноль. Это не ошибка в условии, а математический факт.

---

Нормальное распределение: самый важный пример

Нормальное распределение (колоколообразная кривая) считается самым знаменитым непрерывным распределением в статистике. Рост людей, ошибки измерений, результаты экзаменов: всё это приближённо ему следует.

Функция плотности:

$$f(x)==\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$

Здесь $\mu =0$ (среднее) и $\sigma =1$ (стандартное отклонение) неизменны. Тяните красную и зелёную точки, чтобы вычислить $P(a<X<b)$.

Ключевые свойства:

• Симметрично относительно $\mu$
• ~68% вероятности лежит в $[\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$
• ~95% лежит в $[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$

---

Проверьте себя

Ваша очередь1 из 2

Функция $f(x)=c\cdot (3-x)$ при $0\le x\le 3$ и $f(x)=0$ в остальных точках является плотностью. Чему равна $P(X\le 1)$?

A$\frac{10}{18}$B$\frac{15}{18}$C$\frac{8}{18}$D$\frac{12}{18}$

Проверить

Ваша очередь2 из 2

Величина $X$ равномерно распределена на отрезке $[2,10]$. Чему равны $P(X<4)$ и $P(X\le 4)$?

A$P(X<4)=\frac{1}{2}$ и $P(X\le 4)=\frac{1}{2}$B$P(X<4)=\frac{1}{4}$ и $P(X\le 4)=\frac{3}{8}$C$P(X<4)=\frac{1}{4}$ и $P(X\le 4)=\frac{1}{4}$D$P(X<4)=\frac{1}{2}$ и $P(X\le 4)=\frac{5}{8}$

Проверить

---

Формулы для запоминания

Вероятность = площадь:

$$P(a\le \le X\le \le b)=={\int }_a^{b}f(x)dx$$

Условие нормировки:

$$\int f(x)dx==1$$

Математическое ожидание:

$$E(X)==\int x\cdot \cdot f(x)dx$$

Равномерное распределение на $[a,b]$:

• Плотность: $f(x)=\frac{1}{b-a}$
• Среднее: $E(X)=\frac{a+b}{2}$

Связь $f$ и $F$:

$$f(x)==F^{\prime }(x),F(x)==\int f(x)dx$$