Справедливая игра и математическое ожидание (faires Spiel)

15 мин · 2 упражнения

Введение

Задача на справедливую игру описывает случайный опыт (кубики, монеты, колесо удачи, карты или урну) и сопоставляет некоторым исходам денежную сумму. При одних исходах вы получаете деньги, при остальных платите неизвестную сумму $X$. Требуется найти такое $X$, при котором игра справедлива.

Основная работа почти всегда уходит на вероятности отдельных исходов, а уравнение для $X$ после этого занимает одну строку. Поэтому задачи часто сначала спрашивают вероятности и вероятность проигрыша и только в конце сам $X$.

---

Математическое ожидание выигрыша

Обозначим выигрыш игрока за один раунд через $V$. Это случайная величина: в зависимости от исхода она принимает одно из значений $g_1,g_2,\dots ,g_m$. Сумма, которую вы получаете, положительна, сумма, которую вы платите, отрицательна.

Математическое ожидание (нем. Erwartungswert) выигрыша складывает все значения, умножив каждое на его вероятность:

$$E(V)==g_1\cdot \cdot P(V==g_1)++g_2\cdot \cdot P(V==g_2)++\dots ++g_m\cdot \cdot P(V==g_m)$$

$E(V)$ показывает средний выигрыш за раунд, если играть очень много раз. В отдельном раунде такой суммы обычно не бывает: вы всегда получаете или платите одну из сумм $g_i$.

Пример: кубик бросают один раз. При шестёрке вы получаете 4 €, иначе платите 1 €.

$$E(V)==4\cdot \cdot \frac{1}{6}++(-1)\cdot \cdot \frac{5}{6}==\frac{4-5}{6}==-\frac{1}{6}\approx \approx -0,17\text{€}$$

На длинной дистанции игрок теряет около 17 центов за раунд. Знак показывает, кому игра выгодна:

---

Условие справедливой игры

Игру называют справедливой (нем. faires Spiel), если математическое ожидание выигрыша равно нулю:

$$\boxed{E(V)=0}$$

В задачах одна сумма неизвестна, обычно сумма $X$, которую платят при проигрыше. Если есть выигрыши $g_1,g_2,\dots$ с вероятностями $p_1,p_2,\dots$ и проигрыш $X$ с вероятностью $P(\text{проигрыш})$, условие записывается так:

$$g_1{p}_1++g_2{p}_2++\dots --X\cdot \cdot P(\text{проигрыш})==0$$

$X$ входит в уравнение с минусом, потому что его платят. Выразим $X$:

$$\boxed{X=\frac{g_1{p}_1+g_2{p}_2+\dots }{P(\text{проигрыш})}}$$

В числителе стоит средний выигрыш за раунд, в знаменателе то, как часто приходится платить. Чем реже проигрыш, тем больше допустимый $X$.

Если все исходы равновероятны, общий знаменатель сокращается и хватает количеств исходов: $n_1,n_2,\dots$ для выигрышей и $n_X$ для проигрыша.

$$X==\frac{g_1{n}_1+g_2{n}_2+\dots }{n_X}$$

Порядок действий

1. Назвать события: какие исходы приносят какую сумму? Каждый исход относится ровно к одному событию.
2. Найти вероятности, для каждого события отдельно.
3. Проверить: вероятности в сумме дают $1$. Вероятность проигрыша получается как остаток, $P(\text{проигрыш})=1-p_1-p_2-\dots$
4. Записать условие $E(V)=0$, с $-X$ при проигрыше.
5. Найти $X$ и округлить до центов только в самом конце.

---

Вероятности событий

Исходы в этих играх равновероятны, поэтому действует правило Лапласа $P=\frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все исходы}}$. Считать удобно так:

Два кубика, брошенные «одновременно», всё равно остаются двумя разными кубиками. Результат «2 и 5» складывается из двух исходов, $(2,5)$ и $(5,2)$, тогда как «по порядку 1, потом 2» даёт только один исход.

Пример подсчёта с четырьмя кубиками: сколько из $6^4=1296$ исходов дают ровно одну пару одинаковых чисел, а на двух других кубиках выпадают ещё два разных числа? Выбираем два кубика пары ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ способов), число пары ($6$) и числа на двух других кубиках ($5\cdot 4=20$):

$$6\cdot \cdot 6\cdot \cdot 20==720,P==\frac{720}{1296}==\frac{5}{9}$$

«Все одинаковые» или «ровно три одинаковых» считают так же: сначала позиции, потом числа.

Сами правила подсчёта описаны в теме «Комбинаторика», «ровно $k$ раз» при повторных испытаниях разобрано в теме «Биномиальное распределение».

---

Примеры

Пример 1: Два исхода

У колеса удачи восемь одинаковых секторов, три из них золотые. Если колесо останавливается на золотом секторе, вы получаете 10 €, иначе платите $X$ евро.

$P(\text{золото})=\frac{3}{8}$ и $P(\text{проигрыш})=\frac{5}{8}$.

$$10\cdot \cdot \frac{3}{8}--X\cdot \cdot \frac{5}{8}==0|\cdot \cdot 8$$ $$30==5X$$ $$\boxed{X=6\text{€}}$$

Через количества: три сектора приносят по 10 €, пять секторов стоят по $X$, отсюда $30=5X$.

Пример 2: Два выигрыша и проигрыш

В урне 2 золотых, 5 серебряных и 8 чёрных шаров. Вынимают один шар. За золотой вы получаете 30 €, за серебряный 6 €, за чёрный платите $X$ евро.

Из 15 шаров чёрных 8, значит, $P(\text{проигрыш})=\frac{8}{15}\approx 0,5333$.

$$30\cdot \cdot \frac{2}{15}++6\cdot \cdot \frac{5}{15}--X\cdot \cdot \frac{8}{15}==0|\cdot \cdot 15$$ $$60++30==8X$$ $$\boxed{X=\frac{90}{8}=11,25\text{€}}$$

Пример 3: «Ровно один» на двух кубиках

Бросают два кубика. Если на обоих выпало больше 4, вы получаете 9 €. Если больше 4 выпало ровно на одном, вы получаете 2 €. Иначе вы платите $X$ евро.

Больше 4 на кубике дают $2$ числа из $6$ (5 и 6). Из 36 исходов:

• на обоих больше 4: $2\cdot 2=4$
• ровно на одном: на первом да, на втором нет, или наоборот, $2\cdot 4+4\cdot 2=16$
• ни на одном: $4\cdot 4=16$

Проверка: $4+16+16=36$.

$$9\cdot \cdot 4++2\cdot \cdot 16--X\cdot \cdot 16==0$$ $$36++32==16X$$ $$\boxed{X=\frac{68}{16}=4,25\text{€}}$$

Кто насчитает для «ровно одного» только $2\cdot 4=8$ исходов, тот забыл второй порядок, и в сумме уже не выйдет 36.

Пример 4: События пересекаются

Бросают два кубика. Если сумма очков равна 7, вы получаете 5 €. Если выпала хотя бы одна единица, но сумма не равна 7, вы получаете 1 €. Иначе вы платите $X$ евро.

В таблице все 36 исходов: S означает сумму 7, E хотя бы одну единицу без суммы 7, точка означает проигрыш.

У события «хотя бы одна единица» $36-25=11$ исходов. Два из них, $(1,6)$ и $(6,1)$, дают сумму 7 и уже относятся к выигрышу в 5 €. На выигрыш в 1 € остаётся $9$ исходов, на проигрыш $36-6-9=21$.

$$5\cdot \cdot 6++1\cdot \cdot 9--X\cdot \cdot 21==0$$ $$39==21X$$ $$\boxed{X=\frac{39}{21}=\frac{13}{7}\approx 1,86\text{€}}$$

Пример 5: Выбор без возвращения

Из урны, где лежат 4 золотых и 8 чёрных шаров, одновременно вынимают 3 шара. Если все три золотые, вы получаете 50 €, если золотых ровно два, получаете 5 €, а в остальных случаях платите $X$ евро.

Всего $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$ равновероятных выборок.

• три золотых: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$
• ровно два золотых и один чёрный: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}\right)=6\cdot 8=48$
• проигрыш: $220-4-48=168$, значит, $P(\text{проигрыш})=\frac{168}{220}\approx 0,7636$

Дерево вероятностей даёт для «трёх золотых» то же самое: $\frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11}\cdot \frac{2}{10}=\frac{1}{55}=\frac{4}{220}$.

$$50\cdot \cdot 4++5\cdot \cdot 48--X\cdot \cdot 168==0$$ $$200++240==168X$$ $$\boxed{X=\frac{440}{168}=\frac{55}{21}\approx 2,62\text{€}}$$

Пример 6: Повторение и противоположное событие

Четверть колеса удачи окрашена в красный цвет. Колесо крутят три раза. За три остановки на красном вы получаете 40 €. Если колесо остановилось на красном хотя бы раз, но не все три раза, вы получаете 2 €, а если ни разу, вы платите $X$ евро.

Вращения независимы, поэтому вероятности перемножаются:

$$P(\text{три раза красное})=={\left(\frac{1}{4}\right)}^3==\frac{1}{64},P(\text{ни разу красное})=={\left(\frac{3}{4}\right)}^3==\frac{27}{64}$$

Средний случай получается как остаток: $1-\frac{1}{64}-\frac{27}{64}=\frac{36}{64}$.

$$40\cdot \cdot \frac{1}{64}++2\cdot \cdot \frac{36}{64}--X\cdot \cdot \frac{27}{64}==0|\cdot \cdot 64$$ $$40++72==27X$$ $$\boxed{X=\frac{112}{27}\approx 4,15\text{€}}$$

---

Задача EPM: полный разбор

Задача: из колоды в 52 карты (13 из них червы) вынимают две карты без возвращения. Если обе карты червовые, вы получаете 20 €, а если червовая ровно одна, то 2 €. Во всех остальных случаях вы платите $X$ евро.

a) Вероятность двух червей? b) Вероятность ровно одной червы? c) Вероятность проигрыша? d) При каком $X$ игра справедлива?

Решение: всего $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{52}{2}\right)=1326$ равновероятных пар карт.

a) $P(\text{две червы})=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{2}\right)}{1326}=\frac{78}{1326}=\frac{1}{17}\approx 0,05882$

Проверка по дереву: $\frac{13}{52}\cdot \frac{12}{51}=\frac{1}{17}$.

b) $P(\text{ровно одна черва})=\frac{13\cdot 39}{1326}=\frac{507}{1326}=\frac{13}{34}\approx 0,38235$

c) Ни одной червы: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{39}{2}\right)=741$ пара, значит, $P(\text{проигрыш})=\frac{741}{1326}=\frac{19}{34}\approx 0,55882$. Проверка: $78+507+741=1326$.

d) Через количества:

$$20\cdot \cdot 78++2\cdot \cdot 507--X\cdot \cdot 741==0$$ $$1560++1014==741X$$ $$\boxed{X=\frac{2574}{741}=\frac{66}{19}\approx 3,47\text{€}}$$

---

Типичные вопросы EPM

Немецкое условие почти всегда повторяет один образец, вот он: «Folgendes Spiel wird vereinbart: ... bekommt man ... In allen anderen Fällen muss man $X$ Euro zahlen. Bestimmen Sie $X$ so, dass das Spiel fair ist!»

• Вероятность проигрыша (нем. Verlustwahrscheinlichkeit) означает вероятность того, что придётся платить $X$. Она стоит в знаменателе формулы для $X$, и её часто требуют отдельным пунктом.
• Пункты от a) до d): сначала вероятности выигрышных событий, затем вероятность проигрыша, в конце $X$. Каждый пункт опирается на результаты предыдущего.
• Оговорки «aber nicht» и «kein» отделяют друг от друга два события, которые иначе пересекались бы, как в примере 4. Если пункт спрашивает вероятность всего события без такой оговорки, получится другое число, чем у выигрышного события.
• Запись ответа: вероятности дробью или с четырьмя-пятью знаками после запятой, $X$ в евро с округлением до центов.

---

Типичные ошибки

Ошибка 1: $X$ с неверным знаком

$X$ платят, поэтому в уравнении он стоит с минусом. Если записать $+X$, получится отрицательный $X$. Отрицательный ответ показывает, что где-то перепутан знак.

Ошибка 2: Посчитать пересечение дважды

Если исход относится сразу к двум выигрышным событиям, его посчитают дважды, и вероятности в сумме дадут больше $1$. Проверка «сумма $=1$» сразу это покажет. Помогает одно: отнести каждый исход ровно к одному событию, как в таблице примера 4.

Ошибка 3: Неверно учтён порядок

У события «ровно на одном из двух кубиков» два порядка (пример 3). «По порядку 1, 2, 3» даёт ровно один: ${\left(\frac{1}{6}\right)}^3$. Те же три числа в любом порядке дают $3!=6$ исходов.

Ошибка 4: Слишком раннее округление

Если решать пример 4 с округлёнными вероятностями $0,17$, $0,25$ и $0,58$, выйдет

$$X==\frac{5\cdot 0,17+1\cdot 0,25}{0,58}\approx \approx 1,90\text{€}$$

вместо $1,86$ €. Считайте дробями или количествами и округляйте только окончательный ответ.

Ошибка 5: Лишний раз вычесть ставку

В этих задачах «вы получаете 5 €» уже означает выигрыш за раунд, а $X$ платят только при проигрыше. Никакой ставки, которую нужно вычитать из каждого выигрыша, здесь нет. Только если в условии прямо названа ставка (нем. Einsatz), которую вносят перед каждым раундом, выигрыш исхода равен выплате минус эта ставка.

---

Проверьте себя

Ваша очередь1 из 2

У колеса удачи пять одинаковых секторов. На двух секторах вы получаете 6 €, на трёх остальных платите 3 €. Что верно для этой игры?

AИгра справедлива.BИгра выгодна игроку, $E(V)=0,60$ € за раунд.CИгра невыгодна игроку, $E(V)=-0,60$ € за раунд.DИгра выгодна игроку, $E(V)=3$ € за раунд.

Проверить

Ваша очередь2 из 2

Бросают две монеты. За два орла вы получаете 6 €, за ровно одного орла 2 €, при двух решках платите $X$ евро. При каком $X$ игра справедлива?

A$X=8$ €B$X=2,50$ €C$X=10$ €D$X=6$ €

Проверить

---

Формулы для запоминания

Математическое ожидание выигрыша:

$$E(V)==\sum _i{g}_i\cdot \cdot P(V==g_i)$$

Справедливая игра:

$$E(V)==0$$

Справедливая сумма проигрыша:

$$X==\frac{g_1{p}_1+g_2{p}_2+\dots }{P(\text{проигрыш})}$$

Вероятность проигрыша:

$$P(\text{проигрыш})==1--p_1--p_2--\dots$$

Хотя бы одно попадание:

$$P(\text{хотя бы один})==1--P(\text{ни одного})$$