Биномиальное распределение

10 мин · 2 упражнения

Введение

Биномиальное распределение описывает вероятность получить ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях, где каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха $p$.

На экзамене EPM эта тема регулярно встречается:

• Повторные броски монеты/кости
• Многократные попытки (лыжник, стрелок)
• Контроль качества (партия деталей)

---

Формула Бернулли

$$P(X==k)==C_n^k\cdot \cdot p^k\cdot \cdot (1--p{)}^{n-k}=$$

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}$$

где:

• $n$: число испытаний
• $k$: число успехов
• $p$: вероятность успеха в одном испытании
• $q=1-p$: вероятность неудачи

---

Разбор формулы

Почему $C_n^k$?

Нам неважен порядок успехов. Мы выбираем $k$ позиций для успехов из $n$: это сочетание!

Почему $p^k\cdot q^{n-k}$?

• $p^k$: вероятность $k$ успехов
• $q^{n-k}$: вероятность $(n-k)$ неудач
• Испытания независимы → умножаем

---

Примеры

Пример 1: Монета

Бросаем монету 5 раз. Вероятность получить ровно 3 орла?

$n=5$, $k=3$, $p=0,5$

$$P(X==3)==C_5^3\cdot \cdot 0,5^3\cdot \cdot 0,5^2==10\cdot \cdot 0,125\cdot \cdot 0,25==0,3125$$

Пример 2: Стрелок

Стрелок попадает в цель с вероятностью 0.8. Делает 6 выстрелов. Вероятность ровно 4 попаданий?

$n=6$, $k=4$, $p=0,8$, $q=0,2$

$$P(X==4)==C_6^4\cdot \cdot 0,8^4\cdot \cdot 0,2^2==15\cdot \cdot 0,4096\cdot \cdot 0,04==0,2458$$

---

Типичные вопросы EPM

«Хотя бы один» (mindestens einmal)

$$P(X\ge \ge 1)==1--P(X==0)==1--q^n$$

Пример: Бросаем кость 4 раза. Вероятность хотя бы одной шестёрки?

$$P(X\ge \ge 1)==1--{\left(\frac{5}{6}\right)}^4==1--0,482==0,518$$

«Не более k» (höchstens k)

$$P(X\le \le k)==\sum _{i=0}^k{C}_n^i\cdot \cdot p^i\cdot \cdot q^{n-i}$$

«Более k» (mehr als k)

$$P(X>>k)==1--P(X\le \le k)$$

Когда $p$ мало, большая часть вероятности сосредоточена около $k=0$, именно поэтому формула «хотя бы один» так удобна. Попробуйте: поставьте $n=10$, $p=0,2$ ниже и посмотрите, насколько скошено распределение.

---

Задача на минимум n

Типичная задача EPM: Сколько минимум попыток нужно, чтобы вероятность хотя бы одного успеха была $\ge$ заданного порога?

Алгоритм

1. Записать: $P(X\ge 1)\ge$ порог
2. Преобразовать: $1-q^n\ge$ порог
3. Решить: $q^n\le 1-$ порог
4. Логарифмировать: $n\ge \frac{\ln (1-\text{порог})}{\ln q}$
5. Округлить ВВЕРХ!

Пример

Вероятность успеха = 0.3. Сколько попыток, чтобы $P(\text{хотя бы 1})\ge 0,95$?

$$1--0,7^n\ge \ge 0,95$$ $$0,7^n\le \le 0,05$$ $$n\cdot \cdot \ln (0,7)\le \le \ln (0,05)$$ $$n\ge \ge \frac{\ln (0,05)}{\ln (0,7)}==\frac{-2,996}{-0,357}==8,4$$

Ответ: минимум 9 попыток

---

Параметры распределения

Математическое ожидание

Случайная величина $X$ с конечным набором значений $x_1,x_2,\dots ,x_m$ и соответствующими вероятностями $P(X=x_i)$ имеет математическое ожидание

$$\boxed{E(X)=\sum _i{x}_i\cdot P(X=x_i)}$$

Каждое значение берётся с весом своей вероятности, и всё суммируется. Биномиальность здесь не предполагается: значения $x_i$ могут быть любыми числами, в том числе денежными суммами со знаком.

Если же $X$ считает успехи в $n$ испытаниях Бернулли, сумма сворачивается до

$$\boxed{E(X)=n\cdot p}$$

Среднее число успехов в $n$ испытаниях.

Дисперсия

$$\boxed{D(X)=n\cdot p\cdot q}$$

Стандартное отклонение

$$\sigma ==\sqrt{n\cdot p\cdot q}$$

---

Честная игра

Игра называется честной (нем. faires Spiel), если на длинной дистанции не выигрывает ни игрок, ни противоположная сторона. Ожидаемый выигрыш при этом равен нулю:

$$\boxed{E=\sum _i{x}_i\cdot p_i=0}$$

Каждая сумма, которую получают, входит со знаком плюс, каждая сумма, которую платят, со знаком минус. Одна из этих сумм и есть неизвестная, её обычно обозначают $X$.

Порядок действий

1. Составить таблицу выплат: по строке на событие, с его вероятностью и суммой вместе со знаком
2. Проверить полноту: события должны исключать друг друга; если вероятность остаётся, добавляется строка «ничего не получают и ничего не платят» с суммой $0$, и вероятности в сумме дают $1$
3. Записать условие $E=0$
4. Выразить $X$

Общий знаменатель вероятностей удобно убрать умножением до того, как выражать $X$: тогда остаётся линейное уравнение.

Пример: найти сумму для честной игры

Задача: В урне лежат четыре красных, три синих и три жёлтых шара. Вынимают 3 шара без возвращения. Если все три шара жёлтые, получают 29 евро. Если у трёх шаров три разных цвета, получают $X$ евро. Во всех остальных случаях платят 1 евро. Каким должно быть $X$, чтобы игра была честной?

Решение:

Всего есть $C_{10}^3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$ равновероятных наборов.

Все три жёлтые: подходят только три жёлтых шара, это единственный набор.

$$p_1==\frac{1}{120}$$

Три разных цвета: по одному шару из каждой цветовой группы.

$$p_2==\frac{4\cdot 3\cdot 3}{120}==\frac{36}{120}$$

Все прочие наборы образуют остаточное событие.

$$p_3==1--\frac{1}{120}--\frac{36}{120}==\frac{83}{120}$$

Таблица выплат:

Условие честности:

$$E==29\cdot \cdot \frac{1}{120}++X\cdot \cdot \frac{36}{120}--1\cdot \cdot \frac{83}{120}==0|\cdot \cdot 120$$ $$29++36X--83==0$$ $$36X==54$$ $$\boxed{X=1,50\text{евро}}$$

Вариант: неизвестная стоит на стороне платежа

Если $X$ относится к сумме, которую платят, то $X$ входит в то же уравнение со знаком минус.

Задача: Идеальную игральную кость бросают три раза. Если подряд выпадают числа 1, 2 и 3, получают 281 евро. Если выпадает хотя бы одна шестёрка, получают 1 евро. Во всех остальных случаях платят $X$ евро. Каким должно быть $X$, чтобы игра была честной?

Решение:

$$p_1=={\left(\frac{1}{6}\right)}^3==\frac{1}{216},p_2==1--{\left(\frac{5}{6}\right)}^3==\frac{91}{216}$$

В первой последовательности шестёрки нет, поэтому события исключают друг друга.

$$p_3==1--\frac{1}{216}--\frac{91}{216}==\frac{124}{216}$$ $$E==281\cdot \cdot \frac{1}{216}++1\cdot \cdot \frac{91}{216}--X\cdot \cdot \frac{124}{216}==0|\cdot \cdot 216$$ $$281++91==124X$$ $$372==124X$$ $$\boxed{X=3\text{евро}}$$

---

График биномиального распределения

При $p=0,5$ распределение симметрично относительно $E(X)=np=5$.

---

Задача EPM: Полный разбор

Задача: Лыжник проходит трассу с вероятностью успеха 0.6. Он делает 5 попыток.

a) Вероятность ровно 3 успешных попыток? b) Вероятность не менее 4 успехов? c) Сколько минимум попыток, чтобы $P(\ge 1)\ge 0,99$?

Решение:

a) $P(X=3)=C_5^3\cdot 0,6^3\cdot 0,4^2=10\cdot 0,216\cdot 0,16=0,3456$

b) $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)$

$=C_5^4\cdot 0,6^4\cdot 0,4^1+C_5^5\cdot 0,6^5\cdot 0,4^0$ $=5\cdot 0,1296\cdot 0,4+1\cdot 0,07776\cdot 1$ $=0,2592+0,07776=0,337$

c) $1-0,4^n\ge 0,99$

$0,4^n\le 0,01$ $n\ge \frac{\ln (0,01)}{\ln (0,4)}=\frac{-4,605}{-0,916}=5,03$

Ответ: минимум 6 попыток

---

Типичные ошибки

Ошибка 1: Забыть $C_n^k$

$P=p^k{q}^{n-k}$ учитывает только ОДНУ последовательность! Нужно умножить на число способов: $C_n^k$

Ошибка 2: Перепутать p и q

Помните: $p$ обозначает успех, а $q=1-p$ обозначает неудачу. Проверяйте!

Ошибка 3: Округлить вниз в задаче на минимум n

$n\ge 5,03$ → ответ 6, не 5!

---

Проверьте себя

Ваша очередь1 из 2

Баскетболистка промахивается при каждом штрафном броске с вероятностью $0,3$ независимо от остальных бросков. Она бросает три раза. Какое выражение даёт вероятность того, что попадёт только третий бросок?

A$C_3^1\cdot 0,3^2\cdot 0,7$B$0,3^2\cdot 0,7$C$C_3^1\cdot 0,7^2\cdot 0,3$D$0,7^2\cdot 0,3$

Проверить

Ваша очередь2 из 2

В тесте четыре вопроса, у каждого два варианта ответа, из которых верен ровно один. Человек отвечает на каждый вопрос наугад. Какова вероятность ответить правильно хотя бы на два вопроса?

A$\frac{11}{16}$B$\frac{5}{16}$C$\frac{14}{16}$D$\frac{13}{16}$

Проверить

---

Формулы для запоминания

Формула Бернулли:

$$P(X==k)==C_n^k\cdot \cdot p^k\cdot \cdot q^{n-k}$$

Хотя бы один:

$$P(X\ge \ge 1)==1--q^n$$

Математическое ожидание (общее, дискретное):

$$E(X)==\sum _i{x}_i\cdot \cdot P(X==x_i)$$

Честная игра:

$$E==\sum _i{x}_i\cdot \cdot p_i==0$$

Математическое ожидание (биномиальное):

$$E(X)==np$$

Дисперсия:

$$D(X)==npq$$

Минимум n попыток:

$$n\ge \ge \frac{\ln (1-\text{порог})}{\ln q}$$