VGUH Juni 2025

Von einem viereckigen Grundstück $ABCD$ mit $\overline{AB}=100\text{m}$, $\overline{BC}=124\text{m}$, $\angle BAC=46,3°$, $\angle CAD=20,2°$ soll durch die Strecke $\overline{XY}$ das $1500{\text{m}}^2$ große Flächenstück $AXY$ abgetrennt werden. $X$ liegt auf $\overline{AB}$ und ist $70\text{m}$ von $A$ entfernt. $Y$ liegt auf $\overline{AD}$.

1. Wie lang sind die Strecken $\overline{AY}$ und $\overline{XY}$ und wie groß ist der Winkel $\angle ABC$?

2. Von $X$ aus sieht man einen Baum, der in $C$ steht, unter dem Höhenwinkel von $15°$. Wie hoch ist der Baum?

$C(4/12)$ ist die Spitze eines gleichschenkeligen Dreiecks $ABC$, dessen Basis $\overline{AB}$ auf der Geraden $g:2x-5y=35$ liegt. Die Länge der Basis ist $\frac{1}{3}$ der Länge der Höhe $h_c$ (= Höhe durch $C$ auf die Basis). Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte $A$ und $B$.

Gegeben sind die beiden Geraden $g[A(2/4/-3),B(1/2/-2)]$ und $h[C(3/4/4),D(1/0/6)]$.

1. Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ parallel sind.

2. Geben Sie die Gleichung der Ebene, die durch $g$ und $h$ festgelegt ist, in Normalform an.

Koffein wird im menschlichen Körper exponentiell mit einer Halbwertszeit von ca. $4$ Stunden abgebaut.

1. Geben Sie eine Gleichung an, die die Koffeinmenge im Menschen nach $t$ Stunden darstellt und berechnen Sie die Zerfallskonstante für diesen Prozess.

2. Wie viel Prozent der vorhandenen Koffeinmenge werden pro Stunde abgebaut und wie viel Prozent sind nach $10$ Stunden noch übrig?

3. Frau Schwarz trinkt um $7:00$ Uhr eine Tasse Kaffee ($100\text{mg}$ Koffein). Um $13:00$ Uhr trinkt sie ein Glas Cola ($40\text{mg}$ Koffein) und um $15:00$ Uhr eine weitere Tasse Kaffee ($100\text{mg}$ Koffein). Wie viel Koffein befindet sich danach in ihrem Körper? Um wie viel Uhr ist die Koffeinmenge im Körper von Frau Schwarz auf $50\text{mg}$ zurückgegangen?

Eine Polynomfunktion $f$ $4.$ Grades ist symmetrisch zur $y$-Achse. $t_w:4x-y=-12$ ist die Gleichung der Wendetangente im Wendepunkt $W(-2/y_w)$.

1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von $f$.

2. Berechnen Sie den Inhalt jener Fläche, die von $f$ und der Geraden durch die Wendepunkte von $f$ begrenzt wird.

(Ersatzangabe für $f$: $y=\frac{x^4-24x^2+144}{16}$)

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x\cdot \ln (x^2)$.

1. Führen Sie eine Kurvendiskussion durch (ohne Monotonie, Krümmung, Graph).

2. $g:y=\sqrt{x\cdot \ln (x^2)}$ rotiert im Intervall $[1;2]$ um die $x$-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

Ein Leuchtturm $L$ steht im Meer. Die kürzeste Entfernung von $L$ zu einem Punkt $P$ an der geradlinig verlaufenden Küstenstraße ist $15\text{km}$. An dieser Küstenstraße liegt $20\text{km}$ von $P$ entfernt ein Haus $H$. Der Leuchtturmwärter rudert mit $4\text{km/h}$ auf die Küste zu und geht mit $6\text{km/h}$ auf der Küstenstraße entlang zu $H$. In welcher Entfernung von $P$ muss er das Boot an der Küstenstraße anlegen, um in kürzester Zeit bei $H$ zu sein?

(Hinweis: Zeit = Weg / Geschwindigkeit)

Aus einem Bericht geht hervor, dass zur Hauptreisezeit im Durchschnitt von $100$ PKWs $15$ überladen durchs Land rollen. Wie viele PKWs muss man überprüfen, um mit $99\%$ Wahrscheinlichkeit mindestens einen überladenen PKW zu entdecken?

Firma Süßli erzeugt Schokoladentafeln derart, dass die Masse der Tafeln annähernd normalverteilt ist mit $\mu =105\text{g}$ und $\sigma =2\text{g}$. Wie schwer muss eine Tafel Schokolade sein, damit sie zu den $15\%$ schwersten gehört?