VGUH EPM · Mathematik

Warum das Produkt zweier Vektoren eine Fläche ist

Nehmen Sie $\vec{a}$ als Grundseite, ihre Länge ist $|\vec{a}|$. Die Fläche des Parallelogramms ist Grundseite mal Höhe, doch die Höhe ist nur der Teil von $\vec{b}$, der senkrecht auf der Grundseite steht, nicht seine volle Länge. Neigen Sie $\vec{b}$ zu $\vec{a}$ hin, und die Figur wird flacher: die Fläche sinkt, obwohl sich keine der Längen geändert hat.

Diese senkrechte Höhe ist gleich $|\vec{b}|\sin \theta$, wobei $\theta$ der Winkel zwischen den Vektoren ist, also ist die Fläche Grundseite mal Höhe:

Das Kreuzprodukt $|\vec{a}\times \vec{b}|$ ist per Definition genau diese Größe, also keine neue Zauberei: es ist dasselbe Grundseite mal Höhe in einem Schritt, wobei $\sin \theta$ den senkrechten Teil herausgreift. Richten Sie die Vektoren in eine Linie aus ($\theta =0$), und es fällt auf 0; stellen Sie sie senkrecht ($\theta =90^{\circ }$), und es erreicht sein Maximum $|\vec{a}||\vec{b}|$.

Ein Dreieck über denselben zwei Vektoren ist die Hälfte davon. Im Raum wird $\vec{a}\times \vec{b}$ zu einem Vektor senkrecht zu beiden, doch seine Länge ist weiterhin diese Fläche, also bilden Sie für drei Punkte zwei Kantenvektoren und halbieren Sie die Länge ihres Kreuzprodukts:

Ziehen Sie an den beiden Vektoren, um zu sehen, wie die Fläche ihrem Kreuzprodukt folgt.