VGUH Jänner 2025

Zwischen zwei Punkten $P$ und $Q$ wird ein schräges Seil gespannt. Um die Seillänge zu ermitteln, wird eine $10\text{m}$ lange horizontale Standlinie $AB$ genau unter dem Seil abgesteckt. Man misst folgende vier Höhenwinkel:

Wie lang ist das Seil?

Gegeben sind die vier Punkte $A(-5/-4)$, $B(10/-1)$, $C(6/7)$, $D(1/8)$.

1. Berechnen Sie den Höhenschnittpunkt des Dreiecks $ABC$.

2. Berechnen Sie den Abstand des Punktes $D$ von der Geraden $g[A,C]$.

3. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$.

Gegeben ist das Dreieck $PQR$ $[P(1/4/-7),Q(7/13/11),R(11/-2/9)]$.

1. Geben Sie die Gleichung der Ebene, in der dieses Dreieck liegt, in Normalform an.

2. Spiegeln Sie den Punkt $R$ an der Geraden $g[P,Q]$ und geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes an.

In der $6000$ Einwohner zählenden Kleinstadt Utopia ist vor $10$ Tagen erstmals das EPM-Virus aufgetreten und hat sofort $36$ Personen "befallen". Mittlerweile sind $266$ Personen an diesem Virus erkrankt.

1. Stellen Sie ein Wachstumsgesetz für das exponentielle Wachstum des EPM-Virus auf.

2. Der Bürgermeister von Utopia ist jetzt sehr besorgt und möchte wissen, in wieviel Stunden ein Drittel der Bevölkerung seiner Stadt an EPM erkrankt sein wird. Bitte rechnen Sie das für ihn aus!

3. Geben Sie die Wachstumskonstante und das prozentuelle Wachstum pro Tag für die Verbreitung von EPM an.

Gegeben ist die reelle Funktion $f$ mit $f(x)=(4-x)\cdot e^x$.

1. Geben Sie Nullstellen und Extremwerte von $f$ sowie deren Art an und skizzieren Sie den Graphen im Intervall $[-6;5]$. $(E_x=E_y=1\text{cm})$

2. Berechnen Sie den Inhalt jener Fläche, die von $f$, der $x$-Achse und der Geraden $g:x=-2$ begrenzt wird.

3. Jenem Flächenstück im 1. Quadranten, das von den beiden Koordinatenachsen und $f$ begrenzt wird, ist ein Rechteck $ABCD$ mit größtmöglichem Flächeninhalt so einzuschreiben, dass gilt: $A(0/0)$, $B$ liegt auf der $x$-Achse und $C$ ist ein Punkt von $f$. Wie groß ist der Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$?

Der Graph der Funktion $f:y=\sin x+4$ rotiert in $[0;2\pi ]$ um die $x$-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Rotationskörpers?

Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades schneidet die $x$-Achse an der Stelle $-6$. Außerdem sind der Wendepunkt $W(0/y)$ und die Wendetangente $t_w:5x+4y=10$ gegeben. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von $f$.

Gegeben ist die reelle Funktion $f:y=\frac{2x}{\sqrt{1+3x^2}}$.

Ermitteln Sie sowohl die erste Ableitung als auch eine Stammfunktion von $f$.

Ein Magier weiß aus Erfahrung, dass ein bestimmter Trick nur in etwa $9$ von $10$ Versuchen gelingt.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von $20$ Versuchen höchstens $18$ gelingen?

2. Angenommen, der Zauberkünstler würde $500$ Versuche machen. Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $460$ Versuche gelingen?