VGUH Oktober 2024

Zwischen zwei gleich hoch gelegenen Orten $A$ und $B$ wird eine geradlinige Eisenbahnlinie gebaut. Diese führt zwischen den Punkten $M$ und $N$ durch einen Tunnel. Um die Länge dieses Tunnels zu berechnen, nimmt man in derselben Horizontalebene einen Punkt $P$ an und misst folgende Daten:

Welche Kosten verursacht der Tunnelbau, wenn $1\text{km}$ Tunnel $25000000$ Euro kostet?

Von einem Dreieck $ABC$ kennt man die Eckpunkte $A(-2\mid -8)$ und $B(4\mid 4)$. Der Eckpunkt $C$ ist der Schnittpunkt der Geraden $g:y=2x+32$ und $h:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 20\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$.

1. Berechnen Sie die Koordinaten des Eckpunktes $C$.

2. Berechnen Sie die Gleichung der Euler'schen Geraden des Dreiecks $ABC$.

   (Ersatzangabe für $C$: $C(-8\mid 16)$)

Legen Sie gegebenenfalls die von Ihnen aufgespannte Ebene durch eine Normalform fest.

Überprüfen Sie rechnerisch, welche Lage die Geraden $g$ und $h$ zueinander haben.

1. Eine Stadt hatte vor $15$ Jahren $20000$ Einwohner. Inzwischen ist die Einwohnerzahl auf $27000$ angestiegen.

   1. Wieviel Prozent beträgt die durchschnittliche jährliche Zunahme?

   2. Wann wird die Stadt $40000$ Einwohner haben?

2. Die Menge an Müll, die von einer Person produziert wird, nimmt pro Jahr um $5\%$ zu. In welcher Zeit verdoppelt sich die Müllmenge pro Person?

Eine Polynomfunktion $f$ $3.$ Grades hat bei $H(2\mid 8)$ einen Hochpunkt und bei $T(6\mid 0)$ einen Tiefpunkt.

1. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von $f$.

2. Berechnen Sie den Wendepunkt von $f$, die Gleichung der Wendetangente und weisen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten von $f$ nach.

   (Ersatzangabe für $f$: $y=\frac{x^3-12x^2+36x}{4}$)

3. Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. Wie lautet die Gleichung der Geraden $g$, die den Graphen von $f$ in der linken Nullstelle und in $P(3\mid f(3))$ schneidet?

4. Die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von $f$ und der $x$-Achse wird von der Geraden $g$ in zwei Teile geteilt. Berechnen Sie deren Flächeninhalte. (Skizze!)

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f:y=x^4-10x^2+25$, wobei $E_x=2\text{cm}$ und $E_y=0,5\text{cm}$. Die $x$-Achse und der Graph von $f$ begrenzen ein Flächenstück. Diesem ist ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt so einzuschreiben, dass eine Seite auf der $x$-Achse liegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Rechtecks.

Die Punkte $A(-4\mid 7)$ und $B(2\mid 2,5)$ liegen auf der Parabel $\text{par}:y=a{x}^2+b$.

1. Stellen Sie die Gleichung dieser Parabel auf!

2. Durch Rotation der Parabel par um die $y$-Achse entsteht ein $14\text{cm}$ hohes Glas. Wie viel Liter Wasser fasst das Glas?

3. Wie hoch steht ein $\frac{1}{4}$ Liter Wasser in diesem Glas?

Bei einem Tontaubenschießen beteiligt sich ein Schütze, der durchschnittlich bei $5$ Schüssen $3$-mal trifft.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze bei $5$ Schüssen mindestens $4$-mal trifft?

2. Aus wie vielen Schüssen muss eine Serie bestehen, damit sie mit mindestens $99,5\%$-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einen Treffer aufweist?

3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Serie von $500$ Schüssen die Trefferzahl zwischen $290$ und $315$ liegt?

Eine Anlage wickelt Wollknäuel so, dass die Masse eines Knäuels normalverteilt ist mit $\mu =52\text{g}$ und $\sigma =1,5\text{g}$. Um wie viel Gramm darf die Masse eines Wollknäuels von $\mu$ höchstens abweichen, damit höchstens $5\%$ der Knäuel zu leicht sind?