VGUH Oktober 2024, Aufgabe 5

Eine Polynomfunktion $f$ $3.$ Grades hat bei $H(2\mid 8)$ einen Hochpunkt und bei $T(6\mid 0)$ einen Tiefpunkt.

1. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von $f$.

2. Berechnen Sie den Wendepunkt von $f$, die Gleichung der Wendetangente und weisen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten von $f$ nach.

   (Ersatzangabe für $f$: $y=\frac{x^3-12x^2+36x}{4}$)

3. Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. Wie lautet die Gleichung der Geraden $g$, die den Graphen von $f$ in der linken Nullstelle und in $P(3\mid f(3))$ schneidet?

4. Die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von $f$ und der $x$-Achse wird von der Geraden $g$ in zwei Teile geteilt. Berechnen Sie deren Flächeninhalte. (Skizze!)