VGUH März 2023

Vom Dach eines $10\text{m}$ hohen Gebäudes sieht man die Spitze $S$ eines (senkrecht stehenden) Sendemastes unter dem Höhenwinkel $\alpha =30,1°$. Den Fußpunkt $F$ des Sendemastes sieht man unter dem Tiefenwinkel $\beta =15,74°$. Das Gebäude und der Sendemast stehen in derselben Horizontalebene. Veranschaulichen Sie diesen Sachverhalt in einer Skizze und berechnen Sie die Höhe des Sendemastes.

Von einem dreieckigen Grundstück $ABC$ kennt man $\overline{AB}=100\text{m}$, $\angle ABC=84°$, $\angle CAB=31°$. Das Grundstück wird eingezäunt und zusätzlich wird auch vom Halbierungspunkt $E$ der Seite $\overline{AB}$ aus ein Zaun zum Eckpunkt $C$ errichtet. Wie viel Meter Zaun wird insgesamt gebraucht?

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $A(-40/20)$, $B(56/-52)$, $C(56/60)$.

Geben Sie die Gleichung der Winkelsymmetrale des Winkels $\angle CAB$ in Normalform an.

Gegeben sind die Punkte $P(6/1/6)$, $Q(2/-3/2)$, $R(0/-1/10)$, $S(-2/9/0)$.

1. Zeigen Sie, dass $S$ nicht in der Ebene $[PQR]$ liegt.

2. Berechnen Sie den Abstand von $S$ zur Ebene $[PQR]$.

Insekten einer bestimmten Gattung verdoppeln ihre Population alle $3$ Tage. Eine Biologin hat $5$ solche Tierchen.

1. Erstellen Sie ein Modell (natürliches exponentielles Wachstum) für den Insekten-Bestand der Biologin.

2. Berechnen Sie, wie viele Tiere die Biologin drei Wochen nach Beginn der Zucht hat.

3. Nach wie vielen Tagen hat sie $80$ Tiere?

Eine Polynomfunktion $f$ $3.$ Grades hat im Punkt $Q(-1/6)$ die Steigung $-15$ und in $W(1/8)$ einen Wendepunkt. Wie lautet die Gleichung von $f$?

Berechnen Sie die von den Kurven $k_1:y=-2x^3+6x^2+3x+1$ und $k_2:y=\frac{1}{5}\cdot (-5x^2+9x+68)$ begrenzte Fläche.

Die Parabel $x^2=4y$ und der Kreis $x^2+y^2-10y+25=16$ begrenzen ein (endliches) Flächenstück, das um die $y$-Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. (Skizze!)

Einem Rechteck wird ein Halbkreis aufgesetzt. Der Gesamtflächeninhalt dieser Figur beträgt $8{\text{cm}}^2$. Wie sind Länge und Breite des Rechtecks bzw. der Radius des Halbkreises zu wählen, damit der Umfang dieser Figur minimal wird?

In einer Schule sind $205$ Mädchen und $327$ Buben. $83$ Mädchen und $102$ Buben tragen eine Brille.

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Brillen trägt.

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Schülerin Brillenträgerin ist.

3. Wie viele Schülerinnen muss man mindestens auswählen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens $1$ Brillenträgerin zu erwischen, mehr als $95\%$ beträgt?

Die Besucher eines Gasthauses konsumieren erfahrungsgemäß mit $70$-prozentiger Wahrscheinlichkeit das angebotene Menü. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von $500$ Besuchern mindestens $340$ das Menü wählen?