EPM November 2025

Von einem Parallelogramm $ABCD$ kennt man die Längen

und den Winkel $\gamma =\sphericalangle BCD=74,7°$.

Berechnen Sie die Länge der Diagonale $f=\overline{BD}$!

Genauigkeit für das Ergebnis: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

Die Zeit $x$ (in Minuten) für das Eintreffen eines Busses in einer bestimmten Haltestelle sei durch den Graphen der Dichtefunktion $f$ gegeben. $x=0$ bedeutet, dass der Zug genau zur fahrplanmäßigen Zeit ankommt.

(a) Bestimmen Sie die Höhe des Trapezes so, dass $f$ eine Dichtefunktion ist!

(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Bus

• i. zu früh kommt $(x<0)$!
• ii. um genau eine Minute zu früh kommt!
• iii. um mindestens eine Minute zu spät kommt!
• iv. um mindestens eine Minute zu spät kommt unter der Bedingung, dass er zu spät kommt!

(c) Eine Minute nach der fahrplanmäßigen Ankunftszeit ist der Zug noch nicht in der Haltestelle. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er innerhalb der nächsten zwei Minuten kommt?

(d) Bestimmen Sie den Funktionsterm der Dichtefunktion

Gegeben ist die Ebene

(a) Geben Sie die Koordinaten von 3 Punkten $P$, $Q$ und $R$ an, die auf der Ebene $\epsilon$ liegen und bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $\epsilon$ in Parameterform!

(b) Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene $\epsilon$ mit der y-Achse einschließt!

(c) Spiegeln Sie den Punkt $A(-1|16|-3)$ an der Ebene $\epsilon$!

Fertigen Sie eine Skizze an, die Ihre Lösungsstrategie demonstriert!

Eine Rechnung ohne Skizze bringt keine Punkte!

(d) Berechnen Sie den Abstand des Punkts $A(-1|16|-3)$ von der z-Achse!

(a) Gegeben ist die Funktion

1. Berechnen Sie $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$

2. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge der Funktion $f$ und alle Intervalle, auf denen die Funktion monoton wachsend ist!

3. Berechnen Sie die Gleichung der Wendetangente von $f$!

(b) Von einer Funktion $g(x)$ ist Folgendes bekannt:

• Definitionsmenge: $D_g=\mathbb{R}\setminus \{2\}$
• Senkrechte Asymptote: $x=2$
• Hochpunkt: $H(0|2)$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=-1$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=-\infty$
• $(-\infty ;0)$ monoton wachsend
• $(0;2)$ monoton fallend
• $(2;\infty )$ monoton fallend

Skizzieren Sie einen möglichen Funktionsgraphen der Funktion $g$ im Koordinatensystem!

(a) In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet.

Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(2)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist:

(b) In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $h$ abgebildet.

1. Markieren Sie alle Wendepunkte im Graphen von $h$!

2. Geben Sie zwei Intervalle an auf denen der Graph von $h$ konkav ist!

(c) Von einer Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man Folgendes:

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W(3|y_W)$ hat die Gleichung $t_W$: $\frac{2x+3y}{5}=1$

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(-3|y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q$: $\frac{1-2y}{3}+x=0$

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Tiefpunkt $T(8|y_T)$ hat die Gleichung $t_T$: $\frac{2y}{3}+1=0$

Geben Sie 7 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

Die Kurve $f$: $y=-2\sqrt{x+4}$ und die Gerade $g$: $\vec{X}=\left(\begin{array}{c}10\\ -8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -2\end{array}\right)$ begrenzen ein endliches Flächenstück.

(a) Skizzieren Sie das Flächenstück!

(b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

Berechnen Sie

(a) Ein Lichtstrahl, der in Wasser eindringt, wird exponentiell geschwächt. Auf einer Länge von 8 Metern verliert der Lichtstrahl 53% an Intensität.

 i. Wieviel Prozent an Intensität verliert der Lichtstrahl pro Meter?

 ii. Wieviel Meter Wasser muss der Lichtstrahl durchdringen, damit er 90% an Intensität verliert?

(b) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:

Genauigkeit für Ergebnisse: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

(a) Berechnen Sie eine Lösung der folgenden Gleichung mit dem Newtonschen Näherungsverfahren auf eine Nachkommastelle genau!

(b) Berechnen Sie

Eine Fastfood-Kette möchte ein neues Menü in allen Filialen anbieten. In einer Filiale wurde das Menü probeweise verkauft um einen Zusammenhang zwischen Preis und verkaufter Stückzahl zu finden. Die Beobachtungen haben Folgendes ergeben: Bei einem Preis von 8 € pro Menü werden pro Tag 210 Menüs verkauft. Wird der Preis um 50 Cent erhöht, so werden nur 195 Menüs pro Tag verkauft. Es wird von einem linearen Zusammenhang zwischen Preis und verkaufter Stückzahl ausgegangen.

(a) Bestimmen Sie die lineare Nachfragefunktion und skizzieren Sie ihren Funktionsgraphen!

(b) Wieviele Menüs können pro Tag maximal abgesetzt werden?

(c) Ab welchem Preis wird kein einziges Menü mehr gekauft?

(d) Bestimmen Sie jene Funktion, die die Einnahmen in Abhängigkeit vom Verkaufspreis angibt, geben Sie die Definitionsmenge an und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!

(e) Berechnen Sie den Preis pro Menü, für den die täglichen Einnahmen maximal werden!

(f) Wie hoch sind die maximalen täglichen Einnahmen?

(g) Wieviele Menüs werden in diesem Fall verkauft?