EPM September 2025

Von einem Parallelogramm $ABCD$ kennt man die Längen

und den Winkel $\beta =\sphericalangle ABC=132,3°$.

Berechnen Sie die Länge der Diagonale $e=\overline{AC}$!

Genauigkeit für das Ergebnis: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

Bei einem Fußballmatch sind alle 48 000 Zuschauerplätze besetzt. Die Plätze sind auf drei Sektoren $A$, $B$ und $C$ aufgeteilt. 40% der Plätze gehören zum Sektor $A$, 16 800 Plätze gehören zum Sektor $B$, der Rest zum Sektor $C$.

39 840 Personen, die das Fußballmatch anschauen, besitzen die österreichische Staatsbürgerschaft. Die restlichen Zuschauer sind Gäste aus dem Ausland. Der Sektor $A$ ist zu 97% mit österreichischen Staatsbürgern und der Sektor $C$ zu 54% mit Gästen aus dem Ausland besetzt.

(a) Stellen Sie die Situation mit einer Tabelle dar!

(b) Wir betrachten die folgenden Ereignisse:

• Ereignis $A$: Eine Person sitzt im Sektor $A$. Analog die Ereignisse $B$ und $C$.
• Ereignis $\ddot{O}$: Eine Person besitzt die österreichische Staatsbürgerschaft.
• Ereignis $G$: Eine Person besitzt die österreichische Staatsbürgerschaft nicht.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

i. eine beliebig ausgewählte Person im Sektor $C$ sitzt! ii. eine beliebig ausgewählte Person keine österreichische Staatsbürgerschaft besitzt und im Sektor $A$ sitzt. iii. eine beliebig ausgewählte Person die österreichische Staatsbürgerschaft besitzt und nicht im Sektor $A$ sitzt. iv. eine Person aus dem Sektor $B$ die österreichische Staatsbürgerschaft besitzt! v. eine Person mit österreichischer Staatsbürgerschaft nicht im Sektor $C$ sitzt! vi. $P(\overline{B})$ vii. $P(A\cap B)$ viii. $P(A\cup B)$ ix. $P(C\cup G)$ x. $P(G|A)$

Gegeben sind die Punkte $A(7|5)$ und $B(2|6)$ und die Gerade $h$:

(a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g[A,B]$ durch die Punkte $A$ und $B$

i. in Parameterform und ii. in Normalform an!

(b) Der Punkt $C(x_c|5)$ liegt auf der Geraden $h$. Berechnen Sie die Koordinate $x_c$ des Punkts $C$!

(c) Berechnen Sie den Winkel $\phi =\sphericalangle (g,h)$ unter dem die Geraden $g$ und $h$ einander schneiden!

(d) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $△ABC$!

(e) Konstruieren Sie den Umkreismittelpunkt im Dreieck unten rechts!

(f) Berechnen Sie die Koordinaten des Umkreismittelpunkts des Dreiecks $△ABC$!

(a) Gegeben ist die Funktion

i. Berechnen Sie $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$

ii. Bestimmen Sie alle Intervalle, auf denen die Funktion konvex ist!

(b) Von einer Funktion $g(x)$ ist Folgendes bekannt:

• Definitionsmenge: $D_g=\mathbb{R}$
• Tiefpunkt: $T(0|0)$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=3$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=-\infty$
• $(-\infty ;0)$ monoton fallend
• $(0;2)$ monoton wachsend
• $(2;\infty )$ monoton fallend

Skizzieren Sie einen möglichen Funktionsgraphen der Funktion $g$ im Koordinatensystem!

(a) In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet.

Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(-2)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist:

(b) Von einer Funktion $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man:

Zeichnen Sie die bekannte Tangente und einen möglichen Funktionsgraphen der Funktion $h$ in einer Umgebung des Tangentialpunkts!

(c) Gegeben ist die Polynomfunktion $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2-\frac{7x}{2}$.

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W(-1|y_W)$ hat die Gleichung $t_W:5x+\frac{2y}{3}=-1$.

i. Geben Sie 3 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

ii. Berechnen Sie den Funktionsterm der Funktion $f$!

Die Kurve $f$: $y=\sqrt{-1-2x}$, die Tangente an $f$ im Punkt $P(-5|y_P)$ und die $x$-Achse begrenzen ein endliches Flächenstück.

(a) Skizzieren Sie das Flächenstück!

(b) Das Flächenstück rotiert um die $x$-Achse.

Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers!

Berechnen Sie

Die Wirksubstanz eines Medikaments wird vom menschlichen Organismus exponentiell abgebaut. Beobachtungen haben ergeben, dass innerhalb von 5,5 Stunden 33% der Wirksubstanz abgebaut werden. Das Medikament wird in Form von Tabletten eingenommen, wobei jede Tablette 90 mg Wirksubstanz enthält. Eine Person nimmt um 6 Uhr in der Früh zwei Tabletten ein. Um 11 Uhr vormittags nimmt sie eine weitere Tablette ein.

(a) Wieviel mg Wirksubstanz befinden sich um 15 Uhr im Körper der Person?

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

(b) Zu welcher Uhrzeit muss die Person die nächste Tablette einnehmen, damit die Menge der Wirksubstanz im Körper nicht unter 120 mg fällt?

(c) Berechnen Sie die Halbwertszeit des Abbauprozesses!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

(a) Von einer arithmetischen Folge $a_n$ kennt man das zehnte Folgenglied $a_{10}=25$. Die Summe der ersten 10 Folgenglieder ist ebenfalls 25, d.h. $s_{10}=25$.

i. Berechnen Sie das allgemeine Folgenglied $a_n$!

ii. Berechnen Sie die Summe $s_9$ der ersten 9 Folgenglieder!

(b) Von einer geometrischen Folge $b_n$ mit nur negativen Folgengliedern kennt man das dritte Folgenglied $b_3=-18$ und das fünfte Folgenglied $b_5=-\frac{81}{2}$.

i. Berechnen Sie das allgemeine Folgenglied $b_n$!

ii. Berechnen Sie die Summe $s_4$ der ersten vier Folgenglieder!

Ein Fitnessstudio verkauft Jahrestickets. Dabei hat sich gezeigt, dass ein linearer Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und der Anzahl an verkauften Tickets besteht. Bei einem Preis von 320€ pro Ticket werden 850 Jahrestickets verkauft. Steigt der Ticketpreis um 20 Euro, so werden um 100 Tickets weniger verkauft.

(a) Bestimmen Sie die lineare Nachfragefunktion und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!

(b) Wieviele Jahrestickets können maximal abgesetzt werden?

(c) Ab welchem Preis wird kein einziges Ticket mehr gekauft?

(d) Bestimmen Sie jene Funktion, die die Einnahmen in Abhängigkeit vom Verkaufspreis angibt, geben Sie die Definitionsmenge an und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!

(e) Berechnen Sie den Ticketpreis, für den die Einnahmen maximal werden!

(f) Wie hoch sind die maximalen Einnahmen?

(g) Wieviele Tickets werden in diesem Fall verkauft?