EPM March 2026

Von einem Trapez $ABCD$ mit den Parallelseiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ kennt man die Längen

und den Flächeninhalt $A=2579,5{\text{ mm}}^2$

sowie den Winkel

Berechnen Sie die Länge der Diagonale $\overline{AC}$!

Genauigkeit: Bei Ergebnissen muss die erste Nachkommastelle gerundet richtig sein für Längen und Winkel!

Ein Elektronikhändler hat in seinem Sortiment nur Handys, Laptops und Tablets. In einem bestimmten Monat hat er insgesamt 250 Geräte an 250 verschiedene Kunden verkauft. Davon waren 75 Laptops. 22% der verkauften Geräte waren Tablets, die restlichen Geräte waren Handys. Insgesamt gab es von diesen Käufern 35 Reklamationen. 40% der Reklamationen kamen von Tabletkäufern. 88% der Laptopkäufer waren zufrieden und haben nicht reklamiert.

(a) Stellen Sie die Situation mit einer Tabelle dar!

(b) Bei einer Kundenzufriedenheitsumfrage werden einige dieser 250 Kunden angerufen. Wir betrachten folgende Ereignisse:

• Ereignis $L$: Die angerufene Person hat einen Laptop gekauft.
• Ereignis $T$: Die angerufene Person hat ein Tablet gekauft.
• Ereignis $H$: Die angerufene Person hat ein Handy gekauft.
• Ereignis $R$: Die angerufene Person hat reklamiert.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

• i. eine beliebige angerufene Person ein Handy gekauft hat!
• ii. eine beliebige angerufene Person ein Tablet gekauft hat und nicht reklamiert hat!
• iii. eine angerufene Person, die nicht reklamiert hat, einen Laptop gekauft hat!
• iv. eine angerufene Person, die ein Handy gekauft hat, reklamiert hat!
• v. eine angerufene Person, die reklamiert hat, kein Handy gekauft hat!
• vi. eine beliebige angerufene Person reklamiert hat oder einen Laptop gekauft hat!
• vii. $P(\overline{T})$
• viii. $P(T|R)$
• ix. $P(T\cup R)$
• x. $P(T\cap R)$

Gegeben sind die Punkte $A(1|0)$ und $C(6|-1)$. Der Punkt $B(-1|y_b)$ liegt auf der Geraden

(a) Berechnen Sie $y_b$!

(b) Berechnen Sie den Winkel $\gamma =\angle BCA$ des Dreiecks $△ABC$!

(c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $△ABC$!

(d) Berechnen Sie die Koordinaten des Höhenschnittpunkts des Dreiecks $△ABC$!

(e) Konstruieren Sie den Höhenschnittpunkt im Dreieck unterhalb!

(f) Geben Sie eine Gleichung einer Geraden $h_1$ an, die parallel zur Geraden $g$ und durch den Punkt $Q(13|6)$ verläuft!

(g) Geben Sie eine Gleichung einer Geraden $h_2$ an, die normal auf die Gerade $g$ steht und durch den Punkt $Q(13|6)$ verläuft!

(h) Berechnen Sie den Normalabstand $d(Q,g)$ des Punkts $Q(13|6)$ von der Geraden $g$!

(a) Gegeben ist die Funktion

• i. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge der Funktion $f$!
• ii. Berechnen Sie die Gleichungen der Asymptoten des Funktionsgraphen von $f$!
• iii. Berechnen Sie alle Intervalle auf denen die Funktion $f$ monoton wachsend ist!

(b) Von einer Funktion $g(x)$ ist Folgendes bekannt:

• Definitionsmenge: $D_g=\mathbb{R}$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=4$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=-1$
• $(-\infty ;-2)$ konkav
• $(-2;3)$ konvex
• $(3;\infty )$ konkav

Skizzieren Sie einen möglichen Funktionsgraphen!

(a) In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet.

Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(1)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist:

(b) Von einer Funktion $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man:

Zeichnen Sie die bekannte Tangente und einen möglichen Funktionsgraphen der Funktion $h$ in einer Umgebung des Tangentialpunkts!

(c) Von einer Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ kennt man die Gleichungen dreier Tangenten:

Die Tangente $t_P$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(-2|y_P)$ hat die Gleichung $t_P:\frac{3x-2y}{4}=-1$

Die Tangente $t_Q$ an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(1|y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q:\frac{1-3y}{5}=x$

Die Tangente $t_H$ an den Graphen von $f$ im Hochpunkt $H(3|y_H)$ hat die Gleichung $t_H:4y-9=0$

Geben Sie 6 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

Der Punkt $P(6|-3)$ liegt auf der Kurve $f:y=-\sqrt{a\cdot x}$

(a) Berechnen Sie $a$!

(b) Die Kurve $f$, die Tangente an $f$ im Punkt $P$ und die $y$-Achse begrenzen ein endliches Flächenstück.

• i. Skizzieren Sie dieses Flächenstück!
• ii. Das Flächenstück rotiert um die $x$-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Berechnen Sie

(a) Von einer radioaktiven Substanz kennt man die Anfangsmenge $m_0=113,5$ g. Nach 7 Tagen sind noch 65% der Substanz vorhanden.

• i. Wie viel Gramm der Substanz sind nach 10 Tagen noch vorhanden?
• ii. Wie lange dauert es, bis nur mehr 5 g der Substanz vorhanden sind?

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

(b) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge $G=\mathbb{R}$!

mit der Notation: $\lg (x)={\log }_{10}(x)$

(a) Von einer arithmetischen Folge kennt man die Summe der beiden ersten Glieder $s_2=6$ und das dritte Glied $a_3=\frac{27}{2}$.

Berechnen Sie das allgemeine Glied $a_n$!

(b) Von einer positiven geometrischen Folge kennt man die Summe der beiden ersten Glieder $s_2=6$ und das dritte Glied $b_3=\frac{27}{2}$.

Berechnen Sie das allgemeine Glied $b_n$!

Aus einem rechteckigen Karton mit 45 cm Länge und 21 cm Breite werden an den Ecken gleich große Quadrate ausgeschnitten. Aus dem Rest wird eine Schachtel gebildet.

• Wie muss man die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate wählen, damit eine Schachtel von größtem Rauminhalt entsteht?
• Skizzieren Sie den Graphen der zu maximierenden Funktion und geben Sie ihre Definitionsmenge an!
• Berechnen Sie das maximale Volumen!