VGUH März 2024, Aufgabe 6

Gegeben sind die Funktionenscharen $f_a:y=-a{x}^2+4$ und $g_a:y=\frac{1}{4}{a}^2{x}^2-a$ mit positivem, reellem $a$.

1. Berechnen Sie die Schnittpunkte der Funktionen $f_a$ und $g_a$ für beliebiges $a$.

2. Berechnen Sie den Inhalt $F(a)$ der Fläche zwischen den beiden Graphen von $f_a$ und $g_a$ in Abhängigkeit von $a$ und zeichnen Sie eine Skizze für $a=1$, $E_x=E_y=2\text{cm}$.

3. Für welches $a$ wird dieser Flächeninhalt $F(a)$ ein Extremum? (Ersatzangabe falls b) nicht gelöst wird: $F(a)=\frac{8a+32}{3\sqrt{a}}$)