EPM April 2025

Von einem Trapez $ABCD$ mit den Parallelseiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ kennt man die Längen

und den Winkel $\gamma =\angle BCD=153,5^{\circ }$.

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{AD}$!

Genauigkeit: Bei Ergebnissen muss die erste Nachkommastelle gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Wir haben 3 rote, 6 schwarze und eine weiße Kugel.

1. Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in verschiedenen Reihenfolgen anzuordnen?

2. Die Kugeln befinden sich in einer Urne. Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

   1. die letzte Kugel weiß ist?

   2. die gezogenen Kugeln 3 verschiedene Farben haben?

   3. die gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben?

   4. genau zwei rote Kugeln gezogen werden?

   5. mindestens eine rote Kugel gezogen wird?

   6. die dritte gezogene Kugel schwarz ist, wenn die erste rot und die zweite schwarz war?

3. Die Kugeln befinden sich in einer Urne. Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

   1. die letzte Kugel weiß ist?

   2. die gezogenen Kugeln 3 verschiedene Farben haben?

   3. die gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben?

   4. genau zwei rote Kugeln gezogen werden?

   5. mindestens eine rote Kugel gezogen wird?

   6. die dritte gezogene Kugel schwarz ist, wenn die erste rot und die zweite schwarz war?

1. Gegeben sind die Punkte $A(5|8|-1)$, $B(7|1|-7)$ und $C(7|-2|5)$.

   1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g[B,C]$ an auf der die Punkte $B$ und $C$ liegen.

   2. Berechnen Sie den Normalabstand $d(A,g[B,C])$ des Punkts $A$ von der Geraden $g[B,C]$!

   3. Geben Sie eine Gleichung der Ebene $\epsilon$ an auf der der Punkt $A$ liegt und die auf die Gerade $g[B,C]$ normal steht! (Fertigen Sie eine Skizze an!)

   4. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ zwischen der Geraden $g[B,C]$ und der Ebene $\epsilon$!

   5. Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Ebene $\epsilon$ und der $y$-Achse!

2. Von einem in positivem Umlaufsinn beschrifteten Rechteck $ABCD$ kennt man die Koordinaten der Eckpunkte $B(-7|1)$ und $C(1|7)$ und die Länge der Seite $\overline{AB}=15$. Berechnen Sie die Koordinaten des Eckpunkts $A$ mit der Methode der Ortsvektoren!

Gegeben ist die Funktion

(a) Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

(b) Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von $f$!

(c) Berechnen Sie $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$!

(d) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

(a) In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet.

Graph of function g

Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(1)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist:

(b) Von einer Polynomfunktion 3. Grades kennt man die Gleichungen zweier Tangenten:

Die Tangente an $f$ im Punkt $A(0|y_A)$ hat die Gleichung $t_A$: $3-\frac{2x+3y}{9}=0$

Die Tangente an $f$ im Punkt $B(2|y_B)$ hat die Gleichung $t_B$: $10x-3y+19=0$

i. Geben Sie 4 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

ii. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Polynomfunktion!

Die Kurven $f$: $y=a{x}^2+1$ und $g$: $y=-\frac{x^2}{2}+b$ haben den gemeinsamen Punkt $S(-4|-3)$.

(a) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$ und von $g$!

(b) Die beiden Kurven $f$ und $g$ begrenzen ein endliches Flächenstück. Skizzieren Sie dieses Flächenstück!

(c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

(d) Das Flächenstück rotiert um die y-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers!

Berechnen Sie

(a)

(b)

(a) Ein exponentiell wachsender Schimmelpilz vergrößert seine Fläche innerhalb von 4 Tagen um 75%.

1. Um wieviel Prozent wächst der Schimmelpilz pro Tag?

2. Wie groß ist ein Schimmelpilz mit einer Anfangsgröße von 10,4 cm² nach einer Woche?

3. Wie lange braucht der Schimmelpilz um seine Größe zu verfünffachen?

(b) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge $G=\mathbb{R}$!

mit der Notation: $\lg (x)={}^{10}\log (x)={\log }_{10}(x)$

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle der Ergebnisse muss gerundet richtig sein!

Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung

über der Grundmenge $G=\mathbb{R}$ auf zwei Nachkommastellen genau (die zweite Nachkommastelle muss gerundet werden).

Die erste Lösung ist mit dem Newtonschen Näherungsverfahren zu berechnen.

Durch die Punkte $E$ und $F$ verläuft eine Straße. Das Bürogebäude $B$ liegt abseits der Straße im Gelände (Skizze!). Vom Punkt $E$ soll eine neue Glasfaserleitung für schnelles Internet zum Bürogebäude $B$ verlegt werden.

Entlang der Straße kostet die Verlegung 55 € pro Meter, im Gelände hingegen 73 € pro Meter.

Skizze: Straße von E nach F (1480m), Bürogebäude B liegt 720m senkrecht zur Straße

(a) Berechnen Sie, wo der Abzweigungspunkt $F$ gewählt werden soll (Entfernung von $E$), damit die Kosten für die Verlegung minimal werden!

(b) Geben Sie die Definitionsmenge jener Funktion an, die minimiert wird und skizzieren Sie ihren Graphen!

(c) Berechnen Sie die minimalen Kosten!