Aufgabenstellung

Die Zeit $x$ (in Minuten) für das Eintreffen eines Zugs in einer bestimmten Haltestelle sei durch den Graphen der Dichtefunktion $f$ gegeben.

$x=0$ bedeutet, dass der Zug genau zur fahrplanmäßigen Zeit ankommt.

1. Bestimmen Sie die Höhe des Trapezes so, dass $f$ eine Dichtefunktion ist!

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Zug

   1. zu früh kommt!

   2. um genau eine Minute zu früh kommt!

   3. um mindestens eine Minute zu spät kommt!

   4. um mindestens eine Minute zu spät kommt unter der Bedingung, dass er zu spät kommt!

3. Eine Minute nach der fahrplanmäßigen Ankunftszeit ist der Zug noch nicht in der Haltestelle. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er innerhalb der nächsten zwei Minuten kommt?

4. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Dichtefunktion

Aufgabenstellung

Von einem Viereck $ABCD$ kennt man die Seitenlängen:

sowie die Länge der Diagonale $\overline{BD}=102,3\text{m}$ und den Winkel $\delta =\angle CDA=108,2^{\circ }$.

Berechnen Sie den Winkel $\alpha =\angle DAB$ des Vierecks $ABCD$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss für Längen und Winkel richtig sein!

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Gerade $g$ und der Punkt $P$:

1. Die Gerade $g$ und der Punkt $P$ liegen auf der Ebene ${\epsilon }_1$.

   1. Geben Sie eine Gleichung der Ebene ${\epsilon }_1$ in Normalform an!

   2. Berechnen Sie mit der Methode der Ortsvektoren die Koordinaten eines Punkts $T$, der den Normalabstand $d(T,{\epsilon }_1)=18$ von der Ebene ${\epsilon }_1$ hat!

   3. Die Punkte $Q(-5\mid 2\mid -1)$ und $R(9\mid -2\mid 3)$ liegen auf der Geraden $h$. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts und den Schnittwinkel zwischen der Ebene ${\epsilon }_1$ und der Geraden $h$!

2. Die Ebene ${\epsilon }_2$ steht normal auf die Gerade $g$ und enthält den Punkt $P$. Geben Sie eine Gleichung der Ebene ${\epsilon }_2$ in Parameterdarstellung an!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

Die zweite Ableitung der Funktion

dürfen Sie ohne Berechnung verwenden.

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge über der Grundmenge $\mathbb{R}$ und die Nullstellen von $f$!

2. Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten der Funktion $f$ an!

3. Berechnen Sie die Extrem- und die Wendepunkte von $f$!

4. Skizzieren Sie die Asymptoten und den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet. Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(-2)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist!

   

   Graph of function g(x) with tangent line at x=-2

2. Von einer Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ kennt man die Gleichungen zweier Tangenten:

   
   

   Die Tangente an $f$ im Punkt $P(-3\mid y_P)$ hat die Gleichung $t_P:2x+3y=-1$.

   
   

   Die Tangente an $f$ im Punkt $Q(2\mid y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q:3x=4y$.

   
   

   Geben Sie 4 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

Aufgabenstellung

Der Graph der Funktion $f(x)=a{x}^2-3x+c$ hat den Hochpunkt $H(-3\mid 1)$.

Die Funktionsgraphen von $f(x)$ und $h(x)=\frac{x^2-14}{4}$ begrenzen ein endliches Flächenstück.

1. Skizzieren Sie das Flächenstück!

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

Aufgabenstellung

1. Berechnen Sie

   $$\int 4x\left(3^{x^2}-e^{1-2x}\right)dx$$

2. Berechnen Sie

   
   
   1. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\ln (2-x^2)}{x+1}$
   2. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (2-x^2)}{x+1}$

Aufgabenstellung

1. Ein exponentiell wachsender Schimmelpilz wächst innerhalb von 3 Tagen um 52%.

   1. Um wieviel Prozent wächst der Schimmelpilz innerhalb von 4 Tagen?

   2. Wieviel Zeit braucht der Schimmelpilz um seine Größe zu verdreifachen?

2. Lösen Sie die Gleichung

   $$\frac{13}{2^{x+4}}=3^x\cdot 5^{1-2x}$$

Genauigkeit: Die zweite Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!

Aufgabenstellung

Berechnen Sie

1. $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{7\cdot 3^{2n}}{10^n}$
2. $\sum _{k=0}^{30}(-1{)}^k$
3. $\sum _{k=0}^{30}(3-30k)$