Geometrische Verteilung und Mindestanzahl von Versuchen

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Einleitung

Ein Versuch wird unter immer gleichen Bedingungen wiederholt: ein Würfel wird geworfen, eine Kugel mit Zurücklegen gezogen, ein Los gekauft. Jeder Versuch gelingt mit derselben Wahrscheinlichkeit $p$, unabhängig von den anderen. Die geometrische Verteilung beschreibt, wie lange man auf den ersten Erfolg wartet.

Die EPM-Aufgaben zu diesem Thema stellen fast immer dieselbe Frage: Wie oft muss man es mindestens versuchen, damit mindestens ein Erfolg mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\%$, $95\%$ oder $99\%$ eintritt? Die Antwort liefert eine Ungleichung, die man mit dem Logarithmus löst und dann aufrundet. Oft muss man vorher in einer eigenen Teilaufgabe das $p$ eines einzelnen Versuchs bestimmen, etwa für zwei Würfel oder für eine Ziehung von zwei Kugeln.

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Die geometrische Verteilung

Wir bezeichnen mit $X$ die Nummer des Versuchs, bei dem zum ersten Mal ein Erfolg eintritt. $X$ kann die Werte $1,2,3,\dots$ annehmen. Der erste Erfolg beim $k$-ten Versuch heißt: die ersten $k-1$ Versuche misslingen, der $k$-te gelingt. Weil die Versuche unabhängig sind, werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert:

$$\boxed{P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}\cdot p}$$

Beispiel: Man würfelt, bis die erste 6 fällt. Dass sie genau beim dritten Wurf fällt, hat die Wahrscheinlichkeit

$$P(X==3)=={\left(\frac{5}{6}\right)}^2\cdot \cdot \frac{1}{6}==\frac{25}{216}\approx \approx 0,1157$$

Für die Mindestanzahl braucht man zwei Summen. „Nach $k$ Versuchen noch kein Erfolg“ heißt: alle $k$ Versuche misslingen. Daraus folgt das Gegenereignis „der erste Erfolg kommt spätestens beim $k$-ten Versuch“:

$$\boxed{P(X>k)=(1-p{)}^k}\boxed{P(X\le k)=1-(1-p{)}^k}$$

$P(X\le k)$ ist genau die Wahrscheinlichkeit, bei $k$ Versuchen mindestens einen Erfolg zu haben. Das ist dieselbe Zahl wie $P(Y\ge 1)=1-P(Y=0)$ für die binomialverteilte Anzahl $Y$ der Erfolge in $k$ Versuchen. Manche Lösungen schreiben die Ungleichung deshalb mit der Anzahl der Treffer an; die Rechnung ist in beiden Fällen dieselbe.

Der Erwartungswert gibt an, wie viele Versuche man im Durchschnitt bis zum ersten Erfolg braucht:

$$\boxed{E(X)=\frac{1}{p}}$$

Beim Würfeln auf eine 6 sind das im Mittel $6$ Würfe.

Die Aufgaben dieses Themas zählen immer die Versuche einschließlich des erfolgreichen: Gefragt ist, wie viele Würfe, Ziehungen oder Lose man insgesamt braucht. Dieser Artikel verwendet daher durchgehend die erste Zeile der Tabelle.

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Mindestanzahl von Versuchen

Gesucht ist das kleinste $n$, für das die Wahrscheinlichkeit, bei $n$ Versuchen mindestens einen Erfolg zu haben, größer als eine Schwelle $s$ ist:

$$1--(1--p{)}^n>>s$$

Man bringt die Potenz auf eine Seite und logarithmiert beide Seiten:

$$(1--p{)}^n<<1--s$$ $$n\cdot \cdot \ln (1--p)<<\ln (1--s)$$

Beide Logarithmen sind negativ, weil $1-p$ und $1-s$ zwischen $0$ und $1$ liegen. Beim Dividieren durch die negative Zahl $\ln (1-p)$ dreht sich das Ungleichheitszeichen um:

$$\boxed{n>\frac{\ln (1-s)}{\ln (1-p)}}$$

Der Bruch ist fast nie eine ganze Zahl. Weil $n$ eine natürliche Zahl ist, nimmt man die nächste ganze Zahl darüber, man rundet also immer auf, auch bei $18,01$. Statt $\ln$ darf man jeden anderen Logarithmus verwenden, etwa $\lg$: Der Quotient bleibt derselbe.

Vorgehen

1. $p$ bestimmen: die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs, falls sie nicht direkt angegeben ist.
2. Gegenwahrscheinlichkeit $1-p$ bilden: die Wahrscheinlichkeit, dass ein Versuch misslingt.
3. Ungleichung anschreiben: $1-(1-p{)}^n>s$, umformen zu $(1-p{)}^n<1-s$.
4. Logarithmieren und durch $\ln (1-p)$ dividieren, dabei das Zeichen umdrehen.
5. Aufrunden und mit $n-1$ und $n$ kontrollieren: Bei $n-1$ liegt die Wahrscheinlichkeit noch unter der Schwelle, bei $n$ darüber.

Ein Sonderfall: Ist der Quotient genau eine ganze Zahl, entscheidet das Zeichen. Bei $p=\frac{1}{2}$ und „größer als $87,5\%$“ ergibt sich ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n<\frac{1}{8}$, also $n>3$ und $n=4$. Bei „mindestens $87,5\%$“ genügt $n=3$.

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Die Wahrscheinlichkeit p eines Versuchs

Ein „Versuch“ kann selbst aus mehreren Teilen bestehen: zwei Würfel auf einmal, zwei Kugeln aus einer Urne, eine Münze und ein Würfel. Dann bestimmt man zuerst die Wahrscheinlichkeit $p$, dass ein solcher Durchgang gelingt, und setzt sie danach in die Ungleichung ein. Die Durchgänge sind voneinander unabhängig, weil vor jedem Durchgang alles zurückgelegt oder neu geworfen wird.

Für die Zählregeln siehe „Kombinatorik“, für den Additionssatz und die totale Wahrscheinlichkeit „Bedingte Wahrscheinlichkeit“, für „genau $k$-mal“ in mehreren Versuchen „Binomialverteilung“.

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Beispiele

Beispiel 1: Der erste Erfolg beim k-ten Versuch

Ein Glücksrad hat fünf gleich große Sektoren, einer davon gewinnt. Es wird so lange gedreht, bis man gewinnt. Also ist $p=\frac{1}{5}$ und $1-p=\frac{4}{5}$.

Der erste Gewinn genau bei der vierten Drehung:

$$P(X==4)=={\left(\frac{4}{5}\right)}^3\cdot \cdot \frac{1}{5}==\frac{64}{625}==0,1024$$

Nach drei Drehungen noch kein Gewinn, und das Gegenereignis:

$$P(X>>3)=={\left(\frac{4}{5}\right)}^3==\frac{64}{125}==0,512,P(X\le \le 3)==1--\frac{64}{125}==\frac{61}{125}==0,488$$

Zur Kontrolle summiert man die Einzelwerte: $\frac{1}{5}+\frac{4}{25}+\frac{16}{125}=\frac{25+20+16}{125}=\frac{61}{125}$.

Im Durchschnitt braucht man $E(X)=\frac{1}{p}=5$ Drehungen.

Beispiel 2: Knapp über einer ganzen Zahl

Bei einer Losbude gewinnt jedes Los mit der Wahrscheinlichkeit $12\%$. Wie viele Lose muss man mindestens kaufen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\%$ mindestens einmal gewinnt?

$$1--0,88^n>>0,9$$ $$0,88^n<<0,1$$ $$n>>\frac{\ln (0,1)}{\ln (0,88)}==\frac{-2,302585}{-0,127833}\approx \approx 18,01$$ $$\boxed{n=19}$$

Die Kontrolle zeigt, warum man auch hier aufrunden muss: Mit $18$ Losen ist $1-0,88^{18}\approx 0,89984$, also knapp unter $90\%$. Erst mit $19$ Losen ist $1-0,88^{19}\approx 0,91186$.

Beispiel 3: p aus zwei Würfeln

Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Ein Durchgang gelingt, wenn die Augensumme 9 ist. Wie oft muss man mindestens werfen, damit die Augensumme 9 mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\%$ mindestens einmal fällt?

Die Augensumme 9 entsteht aus den vier Ausgängen $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$ und $(6,3)$ von insgesamt 36:

$$p==\frac{4}{36}==\frac{1}{9},1--p==\frac{8}{9}$$ $${\left(\frac{8}{9}\right)}^n<<0,05$$ $$n>>\frac{\ln (0,05)}{\ln (8/9)}==\frac{-2,995732}{-0,117783}\approx \approx 25,43$$ $$\boxed{n=26}$$

Beispiel 4: Zwei Kugeln auf einmal

In einer Urne liegen 5 weiße und 3 schwarze Kugeln. Man zieht zwei Kugeln gleichzeitig, notiert sie und legt beide zurück. Ein Durchgang gelingt, wenn beide Kugeln schwarz sind. Gesucht ist die Mindestanzahl der Durchgänge für eine Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\%$.

Innerhalb eines Durchgangs wird ohne Zurücklegen gezogen, also zählt man Griffe:

$$p==\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)}==\frac{3}{28},1--p==\frac{25}{28}$$ $$n>>\frac{\ln (0,1)}{\ln (25/28)}==\frac{-2,302585}{-0,113329}\approx \approx 20,32$$ $$\boxed{n=21}$$

Zwischen den Durchgängen werden die Kugeln zurückgelegt. Deshalb hat jeder Durchgang dasselbe $p$, und die Formel gilt.

Beispiel 5: „oder“ mit Überschneidung

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte gezogen und zurückgelegt. Ein Durchgang gelingt, wenn die Karte ein Herz oder ein Bild (Bube, Dame, König) ist. Gesucht ist die Mindestanzahl für mehr als $99,9\%$.

Es gibt 13 Herzkarten und 12 Bilder. Die drei Herz-Bilder sind in beiden Zahlen enthalten und werden einmal abgezogen:

$$p==\frac{13+12-3}{52}==\frac{22}{52}==\frac{11}{26},1--p==\frac{15}{26}$$ $$n>>\frac{\ln (0,001)}{\ln (15/26)}==\frac{-6,907755}{-0,550046}\approx \approx 12,56$$ $$\boxed{n=13}$$

Beispiel 6: Totale Wahrscheinlichkeit

Ein Händler bezieht $70\%$ seiner Ware von Lieferant A mit $2\%$ Ausschuss und $30\%$ von Lieferant B mit $6\%$ Ausschuss. Er prüft zufällig gewählte Stücke, jedes unabhängig vom vorigen. Wie viele Stücke muss er mindestens prüfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\%$ mindestens ein fehlerhaftes zu finden?

$$p==0,7\cdot \cdot 0,02++0,3\cdot \cdot 0,06==0,014++0,018==0,032$$ $$0,968^n<<0,1$$ $$n>>\frac{\ln (0,1)}{\ln (0,968)}==\frac{-2,302585}{-0,032523}\approx \approx 70,80$$ $$\boxed{n=71}$$

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EPM-Aufgabe: Vollständige Lösung

Aufgabe: Zwei faire Würfel werden gleichzeitig geworfen. Der Wurf zählt als Erfolg, wenn mindestens eine 6 dabei ist. Der Wurf wird unabhängig wiederholt.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Wurf ein Erfolg? b) Wie oft muss man mindestens werfen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\%$ mindestens ein Erfolg eintritt? c) Wie viele Würfe braucht man im Durchschnitt bis zum ersten Erfolg? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt der erste Erfolg genau beim dritten Wurf ein?

Lösung:

a) Über das Gegenereignis: keiner der beiden Würfel zeigt eine 6.

$$p==1--{\left(\frac{5}{6}\right)}^2==1--\frac{25}{36}==\frac{11}{36}\approx \approx 0,3056$$

Zur Kontrolle durch Abzählen: Von den 36 Ausgängen enthalten $6+6-1=11$ mindestens eine 6, denn $(6,6)$ wird nur einmal gezählt.

b) Ein Wurf misslingt mit $\frac{25}{36}$:

$$1--{\left(\frac{25}{36}\right)}^n>>0,99$$ $${\left(\frac{25}{36}\right)}^n<<0,01$$ $$n>>\frac{\ln (0,01)}{\ln (25/36)}==\frac{-4,605170}{-0,364643}\approx \approx 12,63$$ $$\boxed{n=13}$$

Kontrolle: Mit $12$ Würfen ist die Wahrscheinlichkeit $\approx 0,98742$, mit $13$ Würfen $\approx 0,99127$.

c) $$E(X)==\frac{1}{p}==\frac{36}{11}\approx \approx 3,27\text{Wu¨rfe}$$

d) Die ersten beiden Würfe misslingen, der dritte gelingt:

$$P(X==3)=={\left(\frac{25}{36}\right)}^2\cdot \cdot \frac{11}{36}==\frac{6875}{46656}\approx \approx 0,1474$$

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Typische EPM-Fragestellungen

Der Aufgabentext lautet fast immer: „Berechnen Sie, wie oft man mindestens ... muss, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal ... zu erhalten, größer als ... ist!“

• Mindestanzahl ohne Vorarbeit: $p$ ist als Prozentsatz oder als einfacher Laplace-Bruch gegeben (Münze, Würfel, Glücksrad). Die ganze Aufgabe ist die Ungleichung.
• Teilaufgaben a) und b): a) fragt nach $p$ eines Durchgangs, b) nach der Mindestanzahl. Die Arbeit in a) ist Kombinatorik, Additionssatz oder totale Wahrscheinlichkeit, wie in den Beispielen 3 bis 6.
• Zwei Ereignisse in einer Aufgabe: zum Beispiel „$A$ und $B$“ in a) und „$A$ oder $B$“ in b), jeweils mit eigener Schwelle. Man rechnet zweimal dasselbe Verfahren mit verschiedenem $p$.
• „mit Zurücklegen“, „unabhängig“, „gleichzeitig ... dann alles zurück“: Diese Angaben sagen, dass jeder Durchgang dasselbe $p$ hat. Ohne sie wäre die Formel $1-(1-p{)}^n$ nicht anwendbar.
• Angabe des Ergebnisses: $n$ als natürliche Zahl, $p$ als Bruch oder Dezimalzahl.

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Häufige Fehler

Fehler 1: Das Zeichen nicht umgedreht

Aus $n\cdot \ln (0,88)<\ln (0,1)$ wird nach der Division $n>18,01$, nicht $n<18,01$. Wer das Zeichen stehen lässt, erhält eine obere Schranke und sucht dann ein größtes statt eines kleinsten $n$. Die Kontrolle mit $n-1$ und $n$ deckt den Fehler auf.

Fehler 2: Abgerundet

Der Quotient $18,01$ in Beispiel 2 verleitet dazu, $18$ zu antworten. Mit $18$ Losen ist die Wahrscheinlichkeit aber $0,89984$, also nicht größer als $90\%$. Bei Mindestanzahlen wird immer aufgerundet.

Fehler 3: $p$ und $1-p$ oder $s$ und $1-s$ vertauscht

In die Potenz gehört die Wahrscheinlichkeit des Misserfolgs, auf die rechte Seite der Rest $1-s$. Wer $0,12^n<0,1$ oder $0,88^n<0,9$ ansetzt, rechnet mit einem anderen Ereignis. Für $0,88^n<0,9$ ergibt sich zum Beispiel $n=1$, was offensichtlich nicht stimmen kann.

Fehler 4: Linear statt mit der Potenz gerechnet

Bei $p=0,15$ und der Schwelle $90\%$ ergibt der Ansatz $n\cdot 0,15>0,9$ die Antwort $n=7$. Richtig ist $n=15$, denn die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Versuche überschneiden sich und dürfen nicht addiert werden. Auch der Erwartungswert $\frac{1}{p}\approx 6,67$ ist keine Mindestanzahl: Er sagt, wie lange man im Durchschnitt wartet, nicht, wie lange man warten muss, um fast sicher zu sein.

Fehler 5: Zu früh gerundet

Rundet man in Beispiel 6 den Logarithmus $\ln (0,968)\approx -0,032523$ auf $-0,033$, entsteht $n>69,8$ und die Antwort $70$. Mit $70$ Stücken ist die Wahrscheinlichkeit aber nur $0,89737$. Die Logarithmen mit mindestens vier gültigen Ziffern rechnen, oder den Quotienten direkt im Taschenrechner bilden.

Fehler 6: Überschneidung bei „oder“ doppelt gezählt

In Beispiel 5 ergibt $13+12=25$ Karten statt $22$, also $p=\frac{25}{52}$, und daraus $n=11$ statt $13$. Der Additionssatz zieht den gemeinsamen Teil einmal ab.

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Überprüfen Sie Ihr Wissen

Jetzt Sie1 von 2

Ein Basketballspieler trifft bei einem Wurf mit der Wahrscheinlichkeit $20\%$. Wie oft muss er mindestens werfen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\%$ mindestens einmal trifft?

A$n=5$B$n=13$C$n=14$D$n=1$

Prüfen

Jetzt Sie2 von 2

Man würfelt, bis die erste 6 fällt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt sie genau beim dritten Wurf?

A$\frac{1}{216}$B$\frac{25}{216}$C$\frac{75}{216}$D$\frac{91}{216}$

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Formeln zum Merken

Erster Erfolg beim $k$-ten Versuch:

$$P(X==k)==(1--p{)}^{k-1}\cdot \cdot p$$

Noch kein Erfolg nach $k$ Versuchen, mindestens ein Erfolg in $k$ Versuchen:

$$P(X>>k)==(1--p{)}^k,P(X\le \le k)==1--(1--p{)}^k$$

Erwartungswert:

$$E(X)==\frac{1}{p}$$

Mindestanzahl für eine Schwelle $s$:

$$1--(1--p{)}^n>>s⟺⟺n>>\frac{\ln (1-s)}{\ln (1-p)},\text{dann aufrunden}$$