Binomialverteilung

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Einleitung

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei $n$ unabhängigen Versuchen genau $k$ Erfolge zu erzielen, wobei jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ hat.

In der EPM-Prüfung kommt dieses Thema regelmäßig vor:

Wiederholtes Münz-/Würfelwerfen
Mehrere Versuche (Skifahrer, Schütze)
Qualitätskontrolle (Charge von Teilen)

Bernoulli-Formel

P (X = = k) = = C_{n}^{k} \cdot \cdot p^{k} \cdot \cdot (1 - - p)^{n - k} = (k n) p^{k} q^{n - k}

wobei:

$n$ : Anzahl der Versuche
$k$ : Anzahl der Erfolge
$p$ : Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch
$q = 1 - p$ : Misserfolgswahrscheinlichkeit

Die Formel im Detail

Warum $C_{n}^{k}$ ?

Die Reihenfolge der Erfolge spielt keine Rolle. Wir wählen $k$ Positionen für die Erfolge aus $n$ : das ist eine Kombination!

Warum $p^{k} \cdot q^{n - k}$ ?

$p^{k}$ : Wahrscheinlichkeit für $k$ Erfolge
$q^{n - k}$ : Wahrscheinlichkeit für $(n - k)$ Misserfolge
Versuche sind unabhängig → multiplizieren

Beispiele

Beispiel 1: Münze

Eine Münze wird 5-mal geworfen. Wahrscheinlichkeit für genau 3-mal Kopf?

$n = 5$ , $k = 3$ , $p = 0, 5$

P (X = = 3) = = C_{5}^{3} \cdot \cdot 0, 5^{3} \cdot \cdot 0, 5^{2} = = 10 \cdot \cdot 0, 125 \cdot \cdot 0, 25 = = 0, 3125

Beispiel 2: Schütze

Ein Schütze trifft das Ziel mit Wahrscheinlichkeit 0,8. Er gibt 6 Schüsse ab. Wahrscheinlichkeit für genau 4 Treffer?

$n = 6$ , $k = 4$ , $p = 0, 8$ , $q = 0, 2$

P (X = = 4) = = C_{6}^{4} \cdot \cdot 0, 8^{4} \cdot \cdot 0, 2^{2} = = 15 \cdot \cdot 0, 4096 \cdot \cdot 0, 04 = = 0, 2458

Typische EPM-Fragestellungen

"Mindestens einmal" (mindestens einmal)

P (X \geq \geq 1) = = 1 - - P (X = = 0) = = 1 - - q^{n}

Beispiel: Ein Würfel wird 4-mal geworfen. Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs?

P (X \geq \geq 1) = = 1 - - (\frac{5}{6})^{4} = = 1 - - 0, 482 = = 0, 518

"Höchstens k" (höchstens k)

P (X \leq \leq k) = = i = 0 \sum k C_{n}^{i} \cdot \cdot p^{i} \cdot \cdot q^{n - i}

"Mehr als k" (mehr als k)

P (X > > k) = = 1 - - P (X \leq \leq k)

Wenn $p$ klein ist, liegt der Großteil der Wahrscheinlichkeit nahe bei $k = 0$ , weshalb „mindestens einmal" so eine nützliche Abkürzung ist. Probieren Sie es aus: Setzen Sie $n = 10$ , $p = 0, 2$ und sehen Sie, wie schief die Verteilung ist.

n = 10p = 0,20

E(X) = 2,00 σ = 1,26

Minimale Anzahl n bestimmen

Typische EPM-Aufgabe: Wie viele Versuche sind mindestens nötig, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg $\geq$ einem gegebenen Schwellenwert ist?

Algorithmus

Aufstellen: $P (X \geq 1) \geq$ Schwellenwert
Umformen: $1 - q^{n} \geq$ Schwellenwert
Lösen: $q^{n} \leq 1 -$ Schwellenwert
Logarithmieren: $n \geq \frac{l n ( 1 - Schwellenwert )}{l n q}$
Aufrunden!

Beispiel

Erfolgswahrscheinlichkeit = 0,3. Wie viele Versuche für $P (mind. 1) \geq 0, 95$ ?

1 - - 0, 7^{n} \geq \geq 0, 95

0, 7^{n} \leq \leq 0, 05

n \cdot \cdot ln (0, 7) \leq \leq ln (0, 05)

n \geq \geq \frac{ln ( 0 , 05 )}{ln ( 0 , 7 )} = = \frac{- 2 , 996}{- 0 , 357} = = 8, 4

Antwort: mindestens 9 Versuche

Kenngrößen der Verteilung

Erwartungswert

Eine Zufallsgröße $X$ mit endlich vielen Werten $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $P (X = x_{i})$ hat den Erwartungswert

E (X) = i \sum x_{i} \cdot P (X = x_{i})

Jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet, und alles wird aufsummiert. Diese Definition setzt keine Binomialverteilung voraus: die $x_{i}$ dürfen beliebige Zahlen sein, etwa Geldbeträge mit Vorzeichen.

Zählt $X$ dagegen die Erfolge in $n$ Bernoulli-Versuchen, dann fällt die Summe zusammen zu

E (X) = n \cdot p

Durchschnittliche Anzahl der Erfolge bei $n$ Versuchen.

Varianz

D (X) = n \cdot p \cdot q

Standardabweichung

σ = = n \cdot p \cdot q

Faires Spiel

Ein Spiel heißt fair, wenn auf lange Sicht weder der Spieler noch die Gegenseite gewinnt. Der erwartete Gewinn ist dann null:

E = i \sum x_{i} \cdot p_{i} = 0

Dabei zählt jeder Betrag, den man bekommt, positiv, und jeder Betrag, den man zahlt, negativ. Gesucht ist einer dieser Beträge, üblicherweise $X$ genannt.

Vorgehen

Auszahlungstabelle anlegen: eine Zeile je Ereignis, mit seiner Wahrscheinlichkeit und seinem Betrag samt Vorzeichen
Vollständigkeit prüfen: die Ereignisse müssen einander ausschließen; bleibt Wahrscheinlichkeit übrig, kommt eine Zeile „nichts bekommen, nichts zahlen" mit dem Betrag $0$ dazu, und die Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich zu $1$
Ansatz $E = 0$ anschreiben
Nach $X$ auflösen

Der gemeinsame Nenner der Wahrscheinlichkeiten lässt sich vor dem Auflösen wegmultiplizieren, dann bleibt eine lineare Gleichung in $X$ übrig.

Beispiel: Betrag für ein faires Spiel

Aufgabe: In einer Urne liegen vier rote, drei blaue und drei gelbe Kugeln. Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Sind alle drei Kugeln gelb, dann bekommt man 29 Euro. Haben die drei Kugeln drei verschiedene Farben, dann bekommt man $X$ Euro. In allen anderen Fällen zahlt man 1 Euro. Wie groß muss $X$ sein, damit das Spiel fair ist?

Lösung:

Insgesamt gibt es $C_{10}^{3} = (3 10) = 120$ gleich wahrscheinliche Griffe.

Alle drei gelb: nur die drei gelben Kugeln kommen in Frage, das ist ein einziger Griff.

p_{1} = = \frac{1}{120}

Drei verschiedene Farben: je eine Kugel aus jeder Farbgruppe.

p_{2} = = \frac{4 \cdot 3 \cdot 3}{120} = = \frac{36}{120}

Alle übrigen Griffe bilden das Restereignis.

p_{3} = = 1 - - \frac{1}{120} - - \frac{36}{120} = = \frac{83}{120}

Auszahlungstabelle:

Ereignis	Wahrscheinlichkeit	Betrag
alle drei gelb	$\frac{1}{120}$	$+ 29$
drei verschiedene Farben	$\frac{36}{120}$	$+ X$
alle anderen Fälle	$\frac{83}{120}$	$- 1$

Ansatz:

E = = 29 \cdot \cdot \frac{1}{120} + + X \cdot \cdot \frac{36}{120} - - 1 \cdot \cdot \frac{83}{120} = = 0 \cdot \cdot 120

29 + + 36 X - - 83 = = 0

36 X = = 54

X = 1, 50 Euro

Variante: der Unbekannte steht auf der Zahlseite

Steht $X$ bei einem Betrag, den man zahlt, dann geht $X$ mit negativem Vorzeichen in dieselbe Gleichung.

Aufgabe: Ein idealer Würfel wird dreimal geworfen. Fallen der Reihe nach die Zahlen 1, 2 und 3, dann bekommt man 281 Euro. Fällt mindestens eine 6, dann bekommt man 1 Euro. In allen anderen Fällen zahlt man $X$ Euro. Wie groß muss $X$ sein, damit das Spiel fair ist?

Lösung:

p_{1} = = (\frac{1}{6})^{3} = = \frac{1}{216}, p_{2} = = 1 - - (\frac{5}{6})^{3} = = \frac{91}{216}

Die erste Folge enthält keine 6, die beiden Ereignisse schließen einander also aus.

p_{3} = = 1 - - \frac{1}{216} - - \frac{91}{216} = = \frac{124}{216}

E = = 281 \cdot \cdot \frac{1}{216} + + 1 \cdot \cdot \frac{91}{216} - - X \cdot \cdot \frac{124}{216} = = 0 \cdot \cdot 216

281 + + 91 = = 124 X

372 = = 124 X

X = 3 Euro

Graph der Binomialverteilung

p = 0,50

E(X) = 5,00 σ = 1,58

Stellen Sie p so ein, dass k = 7 am wahrscheinlichsten ist.

Bei $p = 0, 5$ ist die Verteilung symmetrisch um $E (X) = n p = 5$ .

EPM-Aufgabe: Vollständige Lösung

Aufgabe: Ein Skifahrer absolviert eine Abfahrt mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0,6. Er macht 5 Versuche.

a) Wahrscheinlichkeit für genau 3 erfolgreiche Versuche? b) Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 Erfolge? c) Minimale Versuche für $P (\geq 1) \geq 0, 99$ ?

Lösung:

a) $P (X = 3) = C_{5}^{3} \cdot 0, 6^{3} \cdot 0, 4^{2} = 10 \cdot 0, 216 \cdot 0, 16 = 0, 3456$

b) $P (X \geq 4) = P (X = 4) + P (X = 5)$

= C_{5}^{4} \cdot 0, 6^{4} \cdot 0, 4^{1} + C_{5}^{5} \cdot 0, 6^{5} \cdot 0, 4^{0}

= 5 \cdot 0, 1296 \cdot 0, 4 + 1 \cdot 0, 07776 \cdot 1

= 0, 2592 + 0, 07776 = 0, 337

c) $1 - 0, 4^{n} \geq 0, 99$

0, 4^{n} \leq 0, 01

n \geq \frac{l n ( 0 , 01 )}{l n ( 0 , 4 )} = \frac{- 4 , 605}{- 0 , 916} = 5, 03

Antwort: mindestens 6 Versuche

Häufige Fehler

Fehler 1: $C_{n}^{k}$ vergessen

$P = p^{k} q^{n - k}$ : das ist nur EINE Reihenfolge! Muss mit der Anzahl der Möglichkeiten multipliziert werden: $C_{n}^{k}$

Fehler 2: p und q verwechselt

$p$ steht für Erfolg, $q = 1 - p$ für Misserfolg. Prüfen!

Fehler 3: Abrunden bei Mindestanzahl-Aufgaben

$n \geq 5, 03$ → Antwort ist 6, nicht 5!

Überprüfen Sie Ihr Wissen

Jetzt Sie1 von 2

Eine Basketballspielerin verfehlt den Korb bei jedem Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit $0, 3$ , unabhängig von den anderen Würfen. Sie wirft dreimal. Welcher Ausdruck gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass nur der dritte Wurf ein Treffer ist?

C_{3}^{1} \cdot 0, 3^{2} \cdot 0, 7

0, 3^{2} \cdot 0, 7

C_{3}^{1} \cdot 0, 7^{2} \cdot 0, 3

0, 7^{2} \cdot 0, 3

Jetzt Sie2 von 2

Ein Test hat vier Fragen mit je zwei Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Jemand rät bei jeder Frage. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwei Fragen richtig zu beantworten?

\frac{11}{16}

\frac{5}{16}

\frac{14}{16}

\frac{13}{16}

Formeln zum Merken

Bernoulli-Formel:

P (X = = k) = = C_{n}^{k} \cdot \cdot p^{k} \cdot \cdot q^{n - k}

Mindestens einmal:

P (X \geq \geq 1) = = 1 - - q^{n}

Erwartungswert (allgemein, diskret):

E (X) = = i \sum x_{i} \cdot \cdot P (X = = x_{i})

Faires Spiel:

E = = i \sum x_{i} \cdot \cdot p_{i} = = 0

Erwartungswert (binomialverteilt):

E (X) = = n p

Varianz:

D (X) = = n pq

Minimale Anzahl n:

n \geq \geq \frac{ln ( 1 - Schwellenwert )}{ln q}

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Einleitung

Bernoulli-Formel

Die Formel im Detail

Warum Cnk​?

Warum pk⋅qn−k?

Beispiele

Beispiel 1: Münze

Beispiel 2: Schütze

Typische EPM-Fragestellungen

"Mindestens einmal" (mindestens einmal)

"Höchstens k" (höchstens k)

"Mehr als k" (mehr als k)

Minimale Anzahl n bestimmen

Algorithmus

Beispiel

Kenngrößen der Verteilung

Erwartungswert

Varianz

Standardabweichung

Faires Spiel

Vorgehen

Beispiel: Betrag für ein faires Spiel

Variante: der Unbekannte steht auf der Zahlseite

Graph der Binomialverteilung

EPM-Aufgabe: Vollständige Lösung

Häufige Fehler

Fehler 1: Cnk​ vergessen

Fehler 2: p und q verwechselt

Fehler 3: Abrunden bei Mindestanzahl-Aufgaben

Überprüfen Sie Ihr Wissen

Formeln zum Merken

Warum $C_{n}^{k}$ ?

Warum $p^{k} \cdot q^{n - k}$ ?

Fehler 1: $C_{n}^{k}$ vergessen