Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Was ist das und warum ist es wichtig?

Stellen Sie sich vor: Sie werfen einen Würfel und Ihr Freund sagt Ihnen „es ist eine gerade Zahl". Jetzt ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu erhalten, nicht mehr $\frac{1}{6}$ . Sie wissen jetzt, dass es definitiv 2, 4 oder 6 ist. Drei Möglichkeiten bleiben, und 6 ist eine davon. Also ist die Wahrscheinlichkeit = $\frac{1}{3}$ .

Das ist die bedingte Wahrscheinlichkeit: die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn wir bereits etwas über die Situation wissen.

In der EPM-Prüfung erkennen Sie diese Aufgaben an Formulierungen wie:

„Unter der Bedingung, dass..."
„Wenn bekannt ist, dass..."
„Unter denjenigen, die..."

Die Formel und ihre Bedeutung

P (B ∣ ∣ A) = = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}

Gelesen als: „Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A".

Warum sieht die Formel so aus?

Sobald wir erfahren, dass $A$ eingetreten ist, spielt der Rest der Welt keine Rolle mehr. Der Kreis $A$ wird unser neues „Universum". Und wir fragen: Welcher Anteil dieses neuen Universums ist auch $B$ ?

Zähler $P (A \cap B)$ : was wir suchen (sowohl $A$ als auch $B$ zusammen)
Nenner $P (A)$ : unser neues „Universum"

Im Grunde teilen wir „was wir wollen" durch „alles was noch übrig ist".

Multiplikationsregel für abhängige Ereignisse

Aus der Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt eine wichtige Regel:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

Das ist die Multiplikationsregel für abhängige Ereignisse. Sie ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beide Ereignisse eintreten, wenn das zweite vom ersten abhängt.

Beispiel: Aus einer Urne mit 5 weißen und 3 schwarzen Kugeln ziehen wir 2 Kugeln ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide weiß sind?

$P (erste weiß) = \frac{5}{8}$
$P (zweite weiß ∣ erste weiß) = \frac{4}{7}$ (4 weiße bleiben von 7)
$P (beide weiß) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

Additionssatz für Vereinigungen

Die Multiplikationsregel beantwortet die Frage nach $A \cap B$ , also danach, dass beide Ereignisse zusammen eintreten. Die zweite Frage lautet $A \cup B$ : Mindestens eines der beiden tritt ein. Im Aufgabentext steht dafür „oder“, und dieses „oder“ schließt den Fall, dass beides zutrifft, ausdrücklich mit ein.

P (A \cup \cup B) = P (A) + + P (B) - - P (A \cap \cap B)

Der Abzug am Ende ist der eigentliche Inhalt der Formel. Wer nur $P (A)$ und $P (B)$ addiert, zählt jeden Fall, der zu beiden Ereignissen gehört, zweimal: einmal in $P (A)$ und noch einmal in $P (B)$ . Eine dieser beiden Zählungen ist zu viel, deshalb wird $P (A \cap B)$ genau einmal wieder abgezogen.

Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Können $A$ und $B$ nicht gleichzeitig eintreten, ist $A \cap B = \emptyset$ und damit $P (A \cap B) = 0$ . Der Abzug fällt weg und die Formel verkürzt sich:

P (A \cup \cup B) = = P (A) + + P (B) falls A \cap \cap B = = \emptyset

Die Vereinigung in der Tabelle

In einer Vierfeldertafel deckt $A \cup B$ drei der vier inneren Felder ab. Außerhalb bleibt nur das eine Feld, in dem weder $A$ noch $B$ eintritt:

	$B$	$B$	Summe
$A$	$A \cap B$	$A \cap B$	$A$
$A$	$A \cap B$	$A \cap B$	$A$

Daraus ergibt sich ein zweiter Rechenweg, der ohne den Abzug auskommt und sich gut als Kontrolle eignet:

P (A \cup \cup B) = = 1 - - P (A \cap \cap B)

Die Tabelle kann auch mehr als zwei Spalten haben, etwa drei Sektoren oder drei Gerätetypen. Am Additionssatz ändert das nichts, es wachsen nur die Zahl der Felder und die Zahl der Summanden in den Randsummen.

Beispiel: Sektoren im Stadion

Ein Stadion hat 30 000 Plätze in den Sektoren $A$ , $B$ und $C$ . 23 100 Zuschauer besitzen die österreichische Staatsbürgerschaft, die übrigen sind Gäste aus dem Ausland. Ausgefüllt sieht die Tabelle so aus:

	Sektor $A$	Sektor $B$	Sektor $C$	Summe
$O ¨$	11 400	8 100	3 600	23 100
$G$	600	900	5 400	6 900
Summe	12 000	9 000	9 000	30 000

$O ¨$ steht für „die Person besitzt die österreichische Staatsbürgerschaft“, $G$ für „die Person besitzt sie nicht“, und $A$ , $B$ und $C$ stehen für den Sektor, in dem die Person sitzt.

$P (A \cup B)$ : Niemand sitzt in zwei Sektoren zugleich, also ist $P (A \cap B) = 0$ und der Abzug entfällt.

P (A \cup \cup B) = = \frac{12000}{30000} + + \frac{9000}{30000} = = 0, 40 + + 0, 30 = 70%

$P (C \cup G)$ : Hier überschneiden sich die Ereignisse, denn 5 400 Gäste aus dem Ausland sitzen im Sektor $C$ . Diese Personen stecken sowohl in $P (C)$ als auch in $P (G)$ .

P (C \cup \cup G) = = \frac{9000}{30000} + + \frac{6900}{30000} - - \frac{5400}{30000} = = 0, 30 + + 0, 23 - - 0, 18 = 35%

Ohne den Abzug stünden dort $53%$ . Zur Kontrolle über die Felder: Im Sektor $C$ sitzen $3600 + 5400 = 9000$ Personen, außerhalb von $C$ kommen $600 + 900 = 1500$ Gäste dazu, zusammen $10500$ von $30000$ , und das ergibt wieder $35%$ .

Dieselbe Tabelle wird auf zwei Arten abgefragt. Ein Teil der Fragen ist ausformuliert („eine Person ist Gast aus dem Ausland und sitzt nicht im Sektor C“), der andere an reiner Symbolschreibweise wie $P (B)$ , $P (A \cap B)$ oder $P (A \cup B)$ . Gemeint ist dasselbe: Der ausformulierte Satz oben ist $P (G \cap C)$ . Dabei steht „und“ für $\cap$ , „oder“ für $\cup$ , „nicht“ für den Querstrich und „unter denen, die ...“ für den senkrechten Strich.

Beispiele

Beispiel 1: Würfel

Ein Würfel wurde geworfen. Gegeben, dass das Ergebnis gerade ist: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine 6 ist?

Aufschlüsselung:

$A$ = gerade = 6 (unsere Bedingung, unser neues „Universum")
$B$ = Sechs = 6 (was wir suchen)
$A \cap B$ = 6 (die Schnittmenge: eine Sechs, die auch gerade ist)

Berechnung:

P (B ∣ ∣ A) = = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = = \frac{1/6}{3/6} = = \frac{1}{3}

Oder einfacher: Von drei geraden Zahlen (2, 4, 6) passt eine (6). Antwort: $\frac{1}{3}$ .

Beispiel 2: Karten

Eine Karte wird aus einem Deck (52 Karten) gezogen. Gegeben, dass sie rot ist: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Ass ist?

Aufschlüsselung:

Rote Karten: 26 (Herz + Karo)
Asse: 4 (eines in jeder Farbe)
Rote Asse: 2 (Herz-Ass und Karo-Ass)

Berechnung: Von 26 roten Karten sind 2 Asse. Also: $\frac{2}{26} = \frac{1}{13}$

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Manchmal müssen wir die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen, wenn wir die Wahrscheinlichkeiten in verschiedenen Gruppen kennen.

Beispiel: Drei Maschinen

Eine Werkstatt hat drei Maschinen:

Erste produziert 50% aller Teile, Ausschussrate: 2%
Zweite produziert 30% aller Teile, Ausschussrate: 3%
Dritte produziert 20% aller Teile, Ausschussrate: 4%

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Teil defekt ist?

Maschine	Anteil	Ausschussrate
Maschine 1	50%	2%
Maschine 2	30%	3%
Maschine 3	20%	4%

P (defekt) = = 0, 5 \times \times 0, 02 + + 0, 3 \times \times 0, 03 + + 0, 2 \times \times 0, 04 = = 0, 027

Die Logik: Ein defektes Teil kann von jeder Maschine stammen. Wir berechnen den Beitrag jeder Maschine:

Von Maschine 1: $0, 50 \times 0, 02 = 0, 010$ (Hälfte der Teile, 2% defekt)
Von Maschine 2: $0, 30 \times 0, 03 = 0, 009$ (ein Drittel der Teile, 3% defekt)
Von Maschine 3: $0, 20 \times 0, 04 = 0, 008$ (ein Fünftel der Teile, 4% defekt)

Zusammen: $0, 010 + 0, 009 + 0, 008 = 0, 027 = 2, 7%$

Das ist der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:

P (defekt) = = P (H_{1}) \cdot \cdot P (defekt ∣ ∣ H_{1}) + + P (H_{2}) \cdot \cdot P (defekt ∣ ∣ H_{2}) + + P (H_{3}) \cdot \cdot P (defekt ∣ ∣ H_{3})

wobei $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ bedeuten: „Teil stammt von Maschine 1, 2, 3".

Allgemeine Formel

P (A) = = i \sum P (H_{i}) \cdot \cdot P (A ∣ ∣ H_{i})

wobei $H_{1}, H_{2}, \dots$ ein vollständiges System von sich gegenseitig ausschließenden Hypothesen ist (deren Wahrscheinlichkeiten sich zu 1 summieren).

Formel von Bayes: Die Bedingung „umdrehen"

Nun eine interessante Frage: Ein Teil hat sich als defekt herausgestellt. Von welcher Maschine stammt es am wahrscheinlichsten?

Wir kennen $P (defekt ∣ H_{1})$ = 2%: die Wahrscheinlichkeit eines Defekts, wenn das Teil von Maschine 1 stammt.

Aber wir brauchen $P (H_{1} ∣ defekt)$ : die Wahrscheinlichkeit von Maschine 1, wenn das Teil defekt ist.

Das ist das „umgekehrte" Problem, gelöst durch die Formel von Bayes:

P (H_{1} ∣ ∣ defekt) = = \frac{P ( H _{1} ) \cdot P ( defekt ∣ H _{1} )}{P ( defekt )}

Einsetzen:

P (H_{1} ∣ ∣ defekt) = = \frac{0 , 50 \times 0 , 02}{0 , 027} = = \frac{0 , 01}{0 , 027} \approx \approx 0, 37

Also stammen etwa 37% der defekten Teile von Maschine 1.

Warum funktioniert das? Die Formel von Bayes beantwortet: „Welcher Anteil aller Defekte stammt von Maschine 1?". Der Zähler ist der Beitrag von Maschine 1 zu den Gesamtdefekten, der Nenner die Gesamtdefekte. Dividiert ergibt sich der gesuchte Anteil.

Allgemeine Formel von Bayes

P (H_{k} ∣ ∣ A) = = \frac{P ( H _{k} ) \cdot P ( A ∣ H _{k} )}{P ( A )}

Merken Sie sich die Reihenfolge:

Zähler: P(Hypothese) × P(Ereignis | Hypothese)
Nenner: P(Ereignis), berechnet über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Beispiel: Medizinischer Test

Eine seltene Krankheit betrifft 1% der Bevölkerung. Es gibt einen Test:

Wenn eine Person krank ist, zeigt der Test in 95% der Fälle „+" an (Sensitivität)
Wenn eine Person gesund ist, zeigt der Test fälschlicherweise in 2% der Fälle „+" an (falsch positiv)

Der Test zeigte „+". Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie tatsächlich krank sind?

Intuitive (falsche) Antwort: „Da der Test positiv ist und seine Genauigkeit 95% beträgt, ist die Krankheitswahrscheinlichkeit etwa 95%."

Das ist eine Falle! Wenden wir den Satz von Bayes an.

Gegeben:

$P (krank) = 0, 01$ (1% der Bevölkerung)
$P (gesund) = 0, 99$
$P (+ ∣ krank) = 0, 95$
$P (+ ∣ gesund) = 0, 02$

Schritt 1. P(+) mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen:

P (+) = = P (krank) \cdot \cdot P (+ ∣ ∣ krank) + + P (gesund) \cdot \cdot P (+ ∣ ∣ gesund)

P (+) = = 0, 01 \cdot \cdot 0, 95 + + 0, 99 \cdot \cdot 0, 02 = = 0, 0095 + + 0, 0198 = = 0, 0293

Schritt 2. Satz von Bayes anwenden:

P (krank ∣ ∣ +) = = \frac{P ( krank ) \cdot P ( + ∣ krank )}{P ( + )} = = \frac{0 , 01 \cdot 0 , 95}{0 , 0293} \approx \approx 0, 32

Antwort: ca. 32%, nicht 95%!

Intuition: Die Krankheit ist selten (nur 1% sind krank). Unter allen positiven Tests stammen die meisten von falsch positiven Ergebnissen gesunder Menschen (die 99% ausmachen). Der Satz von Bayes berücksichtigt die „Basisrate" des Ereignisses.

Unabhängigkeit von Ereignissen

Ereignisse $A$ und $B$ sind unabhängig, wenn das Wissen über das eine die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert:

P (B ∣ ∣ A) = = P (B)

Das ist gleichbedeutend mit:

P (A \cap \cap B) = = P (A) \cdot \cdot P (B)

Beispiel

$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2$

Prüfung: $P (A) \cdot P (B) = 0, 4 \times 0, 5 = 0, 2$

Stimmt mit $P (A \cap B)$ überein! Also sind die Ereignisse unabhängig.

Häufige Verwechslung

Sich gegenseitig ausschließend ≠ Unabhängig!

Sich gegenseitig ausschließend: können nicht gleichzeitig eintreten ( $A \cap B = \emptyset$ ). Beispiel: eine 3 gewürfelt und eine gerade Zahl gewürfelt (schließen sich aus).
Unabhängig: beeinflussen sich nicht gegenseitig. Beispiel: Ergebnis des ersten und des zweiten Wurfs (voneinander unabhängig).

Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind tatsächlich maximal abhängig: Wenn eines eingetreten ist, ist das andere definitiv nicht eingetreten!

Häufige Fehler

Fehler 1: Bedingung und Ereignis verwechseln

$P (geimpft ∣ krank)$ ist NICHT dasselbe wie $P (krank ∣ geimpft)$ .

Ersteres: „Unter den Kranken, welcher Anteil ist geimpft". Zweiteres: „Unter den Geimpften, welcher Anteil ist krank".

Fehler 2: Falscher Nenner

Bei $P (B ∣ A)$ steht im Nenner die Bedingung (was nach dem senkrechten Strich kommt).

$P (Ass ∣ rot)$ → dividieren Sie durch die Anzahl der roten, NICHT der Asse.

Fehler 3: Verwechslung von P(A|B) und P(B|A)

✗ Falsch: $P (Krankheit ∣ positiver Test) = P (positiver Test ∣ Krankheit)$

✓ Richtig: Das sind völlig verschiedene Werte!

$P (+ ∣ krank) = 95%$ : Sensitivität des Tests
$P (krank ∣ +) \approx 32%$ : tatsächliche Krankheitswahrscheinlichkeit

Die Formel von Bayes verknüpft genau diese Größen.

Fehler 4: „oder“ ohne Abzug rechnen

Bevor Sie eine Vereinigung ausrechnen, prüfen Sie, ob ein einzelner Fall zu beiden Ereignissen gehören kann. Im Beispiel oben stehen die zwei Möglichkeiten direkt nebeneinander: Zwei Sektoren schließen einander aus, „Sektor $C$ “ und „Gast aus dem Ausland“ nicht.

Arbeit mit Tabellen

Viele Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit lassen sich bequem mit Vierfeldertafeln lösen. Diese Methode ermöglicht es, mit konkreten Zahlen statt abstrakten Wahrscheinlichkeiten zu arbeiten.

Mehr zum Arbeiten mit Tabellen finden Sie im Thema „Vierfeldertafel".

Überprüfen Sie Ihr Wissen

Jetzt Sie1 von 2

Für zwei Ereignisse gilt $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 6$ und $P (A \cup B) = 0, 72$ . Welche Aussage über $A$ und $B$ trifft zu?

A

und

B

sind abhängig und schließen einander aus.

A

und

B

sind unabhängig und schließen einander aus.

A

und

B

sind abhängig und überschneiden sich.

A

und

B

sind unabhängig und überschneiden sich.

Jetzt Sie2 von 2

In einer Schachtel liegen 4 rote und 6 blaue Stifte. Es werden nacheinander zwei Stifte ohne Zurücklegen gezogen. Welcher Ausdruck gibt die Wahrscheinlichkeit an, einen roten und einen blauen Stift zu ziehen?

\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10}

2 \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10}

\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9}

2 \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9}

Formeln

Bedingte Wahrscheinlichkeit:

P (B ∣ ∣ A) = = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}

Multiplikationsregel:

P (A \cap \cap B) = = P (A) \cdot \cdot P (B ∣ ∣ A)

Additionssatz:

P (A \cup \cup B) = = P (A) + + P (B) - - P (A \cap \cap B)

Totale Wahrscheinlichkeit:

P (A) = = i \sum P (H_{i}) \cdot \cdot P (A ∣ ∣ H_{i})

Formel von Bayes:

P (H_{k} ∣ ∣ A) = = \frac{P ( H _{k} ) \cdot P ( A ∣ H _{k} )}{P ( A )}

Unabhängigkeit:

P (A \cap \cap B) = = P (A) \cdot \cdot P (B)

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