Vierfeldertafel

15 Min. · 2 Übungen

Warum brauchen wir diese Tabelle?

Stellen Sie sich folgende Aufgabe vor: „70% sind geimpft, 5% der Geimpften wurden krank, 20% der Ungeimpften wurden krank." Der Kopf dreht sich von all den Prozentangaben!

Die Vierfeldertafel ordnet alles übersichtlich. Statt Prozente im Kopf zu jonglieren, trägt man alles in eine Tabelle ein und sieht das Gesamtbild.

In der EPM-Prüfung kommen solche Aufgaben ständig vor. Die gute Nachricht: Hat man die Tabelle einmal verstanden, läuft das Lösen fast automatisch.

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Wie die Tabelle funktioniert

Die Idee ist einfach: Wir haben Personen (oder Objekte) und teilen sie nach zwei Merkmalen ein. Zum Beispiel:

• Merkmal A: geimpft / nicht geimpft
• Merkmal B: krank geworden / gesund geblieben

Das ergibt 4 Gruppen, daher der Name „Vierfeldertafel":

Die goldene Regel: Zahlen in einer Zeile ergeben die Zeilensumme, Zahlen in einer Spalte ergeben die Spaltensumme. Es ist wie Sudoku: Wenn man einige Zahlen kennt, kann man den Rest herausfinden.

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Die Tabelle ausfüllen: Schritt für Schritt

Arbeiten wir ein konkretes Beispiel durch.

Aufgabe: 70% der Bevölkerung sind geimpft. Unter den Geimpften wurden 5% krank. Unter den Ungeimpften wurden 20% krank.

Schritt 1: Eine geeignete Gesamtzahl wählen

Prozente sind Anteile eines Ganzen. Um unübersichtliche Dezimalzahlen zu vermeiden, nehmen wir genau 1000 Personen an (man könnte auch 100 nehmen, aber 1000 ist einfacher, wenn Prozente zu Dezimalzahlen führen).

Schritt 2: Eintragen, was wir direkt wissen

• Geimpfte: 70% von 1000 = 700 Personen
• Ungeimpfte: der Rest = 300 Personen

Schritt 3: „Von ihnen X% wurden krank" übersetzen

Hier passieren die meisten Fehler! „Von den Geimpften wurden 5% krank" bedeutet:

• Nehmen Sie die 700 Geimpften
• Berechnen Sie 5% von 700 (nicht von 1000!)
• Wir erhalten: $700\times 0,05=35$ Personen

Ebenso für die Ungeimpften:

• 20% von 300 = $300\times 0,2=60$ Personen

Schritt 4: Den Rest ausfüllen

Jetzt ist es nur noch Rechnen:

• Gesunde Geimpfte: $700-35=665$
• Gesunde Ungeimpfte: $300-60=240$
• Kranke gesamt: $35+60=95$
• Gesunde gesamt: $665+240=905$

Schritt 5: Ergebnis überprüfen

Summen addieren: $95+905=1000$ ✓

Jetzt können wir jede Frage aus dieser Tabelle beantworten!

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Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle berechnen

Einfache Wahrscheinlichkeit: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person krank ist?"

Das ist am einfachsten. Wir lesen ab: 1000 Personen insgesamt, 95 sind krank.

$$P(\text{krank})==\frac{\text{wie viele sind krank}}{\text{wie viele insgesamt}}==\frac{95}{1000}==0,095$$

Die Intuition: Wenn Sie zufällig jemanden aus einer Menge von 1000 Personen auswählen, wären etwa 95 davon krank. Also ist Ihre Chance, auf eine kranke Person zu „treffen", 95 von 1000.

Bedingte Wahrscheinlichkeit: „Wenn jemand krank ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er geimpft war?"

Das ist kniffliger. Uns wird gesagt: „Die Person ist bereits krank." Das bedeutet, wir wählen nicht aus allen 1000, sondern nur aus den 95 kranken Personen.

Unter diesen 95 kranken Personen waren 35 geimpft.

$$P(\text{geimpft}\mid \mid \text{krank})==\frac{35}{95}==\frac{7}{19}\approx \approx 0,37$$

Die Intuition: Stellen Sie sich vor, nur die kranken Personen stehen vor Ihnen (95 an der Zahl). Wie viele davon waren geimpft? 35. Das ist Ihre Antwort: 35 von 95.

Der wesentliche Unterschied

• Einfache Wahrscheinlichkeit: dividieren Sie durch die Gesamtzahl (alle 1000)
• Bedingte Wahrscheinlichkeit: dividieren Sie durch die Anzahl derer, über die wir schon etwas wissen (nur die Kranken, nur die Geimpften usw.)

Der Strich „|" wird als „unter der Bedingung" gelesen. $P(A|B)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit von A, wenn man weiß, dass B bereits eingetreten ist.

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Aufgepasst: häufige Falle!

$P(\text{geimpft}|\text{krank})$ und $P(\text{krank}|\text{geimpft})$ sind verschiedene Zahlen!

Aus unserer Tabelle:

• $P(\text{geimpft}|\text{krank})=\frac{35}{95}\approx 0,37$ (unter den Kranken sind 37% geimpft)
• $P(\text{krank}|\text{geimpft})=\frac{35}{700}=0,05$ (unter den Geimpften sind 5% krank)

Es ist wie „alle Katzen sind Tiere" bedeutet nicht „alle Tiere sind Katzen."

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Beispiel mit einer unvollständigen Tabelle

In der Prüfung bekommt man oft eine Tabelle mit fehlenden Werten. Keine Panik: Verwenden Sie die Summenregel.

Aufgabe:

Lösen Sie es wie ein Puzzle:

1. Wie viele, die gelernt haben, haben bestanden? Die Zeile „Gelernt" ergibt 60, und 15 sind durchgefallen. Also bestanden: $60-15=45$

2. Wie viele haben nicht gelernt? Insgesamt 100, gelernt 60. Also: $100-60=40$

3. Wie viele, die nicht gelernt haben, sind durchgefallen? Die Zeile „Nicht gelernt" ergibt 40, und 20 haben bestanden. Also: $40-20=20$

4. Spaltensummen: bestanden $45+20=65$, durchgefallen $15+20=35$

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Unabhängigkeit von Ereignissen

Manchmal wird gefragt: „Hängt die Erkrankung von der Impfung ab?" oder „Sind die Ereignisse A und B unabhängig?"

Die Intuition: Ereignisse sind unabhängig, wenn das Wissen über das eine nichts über das andere verrät. Zum Beispiel beeinflusst die Farbe Ihrer Socken nicht Ihre Prüfungsnote. Das sind unabhängige Ereignisse.

So überprüfen Sie es mit der Tabelle:

Wenn Ereignisse unabhängig sind, dann ist der Anteil von B unter A gleich dem Anteil von B unter allen:

$$P(B\mid \mid A)==P(B)$$

Oder anders ausgedrückt: Die Wahrscheinlichkeit, dass „beides eintritt", ist das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$$P(A\cap \cap B)==P(A)\times \times P(B)$$

Beispiel:

Überprüfung:

• $P(A)=50/100=0,5$
• $P(B)=40/100=0,4$
• $P(A\cap B)=20/100=0,2$
• $P(A)\times P(B)=0,5\times 0,4=0,2$ ✓

Sie sind gleich! Also sind A und B unabhängig.

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Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Tabelle vervollständigen

In einer Schule mit 400 Schülern treiben 180 Sport. 240 sind Mädchen, davon treiben 100 Sport.

Berechnung: Buben gesamt: $400-240=160$. Buben mit Sport: $180-100=80$. Buben ohne Sport: $160-80=80$.

$P(\text{Sport}|\text{Ma¨dchen})=\frac{100}{240}\approx 0,417$ $P(\text{Sport}|\text{Buben})=\frac{80}{160}=0,5$

Antwort: Buben treiben häufiger Sport (50% vs. 41,7%).

Beispiel 2: Unabhängigkeit prüfen

Aus der Tabelle oben: Sind „Sport" und „Geschlecht" unabhängig?

$P(\text{Sport})=\frac{180}{400}=0,45$ $P(\text{Sport}|\text{Ma¨dchen})=\frac{100}{240}\approx 0,417\ne 0,45$

Da $P(\text{Sport}|\text{Ma¨dchen})\ne P(\text{Sport})$, sind die Ereignisse nicht unabhängig.

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Häufige Prüfungsfehler

Fehler 1: Verwechslung von „davon" und „von allen"

„Von den Geimpften wurden 5% krank" bedeutet 5% der Geimpften, nicht von allen!

Falsch: $1000\times 0,05=50$

Richtig: $700\times 0,05=35$

Fehler 2: Verwechslung von P(A|B) und P(B|A)

Lesen Sie die Frage genau:

• „Wenn krank, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, geimpft zu sein?" → suche unter den Kranken
• „Wenn geimpft, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, krank zu werden?" → suche unter den Geimpften

Fehler 3: Summenprüfung vergessen

Nach dem Ausfüllen der Tabelle stellen Sie sicher:

• Jede Zeile ergibt ihre Summe
• Jede Spalte ergibt ihre Summe
• Die Gesamtsumme = N

Wenn etwas nicht aufgeht, haben Sie irgendwo einen Rechenfehler gemacht.

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Kurzübersicht

Einfache Wahrscheinlichkeit:

$$P(A)==\frac{\text{wie viele haben Merkmal A}}{\text{wie viele insgesamt}}$$

Bedingte Wahrscheinlichkeit (A unter Bedingung B):

$$P(A\mid \mid B)==\frac{\text{wie viele haben A und B}}{\text{wie viele haben B}}$$

Unabhängigkeit: $P(A|B)=P(A)$ oder $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

Profi-Tipp: Erstellen Sie immer die Tabelle. Auch wenn Sie denken, Sie können es „im Kopf" lösen: Die Tabelle schützt Sie vor Fehlern.

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Überprüfen Sie Ihr Wissen

Jetzt Sie1 von 2

In einer Firma arbeiten 25% der Beschäftigten in Teilzeit. Von den Teilzeitkräften pendeln 14% mit dem Zug, von den Vollzeitkräften 2%. Welcher Anteil der Zugpendler arbeitet in Teilzeit?

A87,5% der ZugpendlerB14% der ZugpendlerC70% der ZugpendlerD56% der Zugpendler

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Jetzt Sie2 von 2

Von 250 Befragten treiben 150 regelmäßig Sport, und 125 leben vegetarisch. 50 Befragte treiben Sport, leben aber nicht vegetarisch. Welcher Anteil der Sporttreibenden lebt vegetarisch?

A$\frac{2}{3}$ der SporttreibendenB$\frac{3}{5}$ der SporttreibendenC$\frac{4}{5}$ der SporttreibendenD$\frac{1}{2}$ der Sporttreibenden

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Formeln zum Merken

Summenregel: Jede Zeile und Spalte der Vierfeldertafel addiert sich zum Randwert.

Bedingte Wahrscheinlichkeit: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Unabhängigkeit: $A$ und $B$ sind unabhängig $\iff$ $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Gegenereignis: $P(\bar{A})=1-P(A)$

Vereinigung: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, gleichwertig $P(A\cup B)=1-P(\bar{A}\cap \bar{B})$

Prüfungstipp: Füllen Sie immer zuerst die Randwerte aus, dann die inneren Felder. So vermeiden Sie Rechenfehler.