Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

15 Min. · 2 Übungen

Warum brauchen wir die Dichte?

Stellen Sie sich vor, Sie warten auf einen Bus, der „ungefähr alle 10 Minuten" kommt. Wie lange werden Sie warten? 3 Minuten? 7,5 Minuten? 9,234 Minuten? Ihre Wartezeit kann jede beliebige Zahl von 0 bis 10 sein.

Das ist anders als beim Würfeln, wo das Ergebnis nur 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sein kann. Keine 3,7 oder 5,123 möglich.

Bei stetigen Variablen kann man nicht fragen „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 Minuten zu warten?" Die Antwort ist immer null. Warum? Weil es zwischen 2,999 und 3,001 unendlich viele Zahlen gibt und die Chance, genau einen Punkt zu treffen, null ist.

Stattdessen fragen wir: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwischen 2 und 5 Minuten zu warten?" Und genau dafür brauchen wir die Dichte.

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Die Kernidee: Wahrscheinlichkeit = Fläche

Die Dichtefunktion $f(x)$ ist eine Kurve, die zeigt, wo die Werte „konzentriert" sind. Je höher die Kurve an einer Stelle, desto häufiger fallen Werte in diesen Bereich.

Wahrscheinlichkeit, in ein Intervall zu fallen = Fläche unter der Kurve in diesem Intervall.

$$\boxed{P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx}$$

Das Integral ist einfach die Fläche. Deshalb liefert ${\int }_a^{b}f(x)dx$ die Wahrscheinlichkeit.

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Warum ist die Gesamtfläche gleich 1?

Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, beträgt 100%, also 1. Daher muss die gesamte Fläche unter der Dichtekurve 1 ergeben:

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1}$$

Dies ist die Normierungsbedingung. Wenn die Funktion nur auf dem Intervall $[a,b]$ definiert ist, dann:

$${\int }_a^{b}f(x)dx==1$$

Diese Bedingung ist unser wichtigstes Werkzeug, um unbekannte Konstanten in Aufgaben zu finden.

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Wie man die Konstante findet

Aufgabe: Gegeben ist $f(x)=c\cdot x$ auf $[0,2]$, und $f(x)=0$ außerhalb dieses Intervalls. Bestimmen Sie $c$.

Überlegung: Da es sich um eine Dichte handelt, muss die Fläche darunter gleich 1 sein.

Lösung:

Berechnen Sie die Fläche (Integral) und setzen Sie sie gleich 1:

$${\int }_0^{2}c\cdot \cdot xdx==1$$

Das Integral von $x$ ist $\frac{x^2}{2}$. Grenzen einsetzen:

$$c\cdot \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^2==c\cdot \cdot \left(\frac{4}{2}-\frac{0}{2}\right)==c\cdot \cdot 2==1$$

Daraus folgt:

$$c==\frac{1}{2}$$

Probe: Die Fläche eines Dreiecks mit Grundseite 2 und Höhe $f(2)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$ ist $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$. Stimmt!

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Wahrscheinlichkeiten berechnen

Sobald die Konstante bestimmt ist, berechnen wir die Wahrscheinlichkeit als Fläche über dem gewünschten Intervall.

Beispiel: Dichte $f(x)=\frac{1}{2}x$ auf $[0,2]$. Berechnen Sie $P(1\le X\le 2)$.

Wir brauchen die schattierte Fläche (ein Trapez). Wir können sie geometrisch oder per Integral berechnen:

$$P(1\le \le X\le \le 2)=={\int }_1^2\frac{1}{2}xdx==\frac{1}{2}\cdot \cdot \frac{x^2}{2}{|}_1^2==\frac{1}{4}(4-1)==\frac{3}{4}$$

Also liegt der Wert in 75% der Fälle zwischen 1 und 2.

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Gleichverteilung: der einfachste Fall

Wenn alle Werte gleich wahrscheinlich sind, ist die Dichte eine horizontale Linie.

Beispiel: Ein Bus kommt alle 15 Minuten. Sie kommen zu einem zufälligen Zeitpunkt an der Haltestelle an. Die Wartezeit ist gleichverteilt von 0 bis 15.

Dichte: $f(x)=\frac{1}{15}$ auf dem Intervall $[0,15]$.

Warum $\frac{1}{15}$? Weil die Rechteckfläche $15\times h=1$ ergibt, also $h=\frac{1}{15}$.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 5 Minuten zu warten?

$$P(X\le \le 5)==\frac{5}{15}==\frac{1}{3}\approx \approx 33\%$$

Bei der Gleichverteilung ist die Wahrscheinlichkeit einfach das Verhältnis der Intervalllängen!

Formel für die Gleichverteilung auf $[a,b]$:

$$f(x)==\frac{1}{b-a}$$

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Erwartungswert: das „durchschnittliche" Ergebnis

Der Erwartungswert $E(X)$ ist der „Schwerpunkt" der Verteilung. Wenn man das Experiment oft wiederholt und die Ergebnisse mittelt, erhält man ungefähr $E(X)$.

$$\boxed{E(X)=\int x\cdot f(x)dx}$$

Warum diese Formel? Wir nehmen jeden Wert $x$, multiplizieren ihn mit seinem „Gewicht" $f(x)$ (wie wahrscheinlich er ist), und summieren alles auf (integrieren).

Beispiel: $f(x)=\frac{1}{2}x$ auf $[0,2]$.

Wo liegt der „Schwerpunkt" dieser Verteilung? Die Dichte ist rechts größer (bei $x=2$ ist die Dichte maximal), also ist der Schwerpunkt nach rechts von der Intervallmitte verschoben.

$$E(X)=={\int }_0^{2}x\cdot \cdot \frac{1}{2}xdx==\frac{1}{2}{\int }_0^2{x}^{2}dx==\frac{1}{2}\cdot \cdot \frac{8}{3}==\frac{4}{3}\approx \approx 1,33$$

Die Mitte von $[0,2]$ ist 1, aber unser $E(X)=1,33$ liegt weiter rechts, weil die Werte näher bei 2 „konzentriert" sind.

Für die Gleichverteilung:

$$E(X)==\frac{a+b}{2}$$

Einfach der Mittelpunkt (was Sinn ergibt, da alle Werte gleich wahrscheinlich sind).

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Verteilungsfunktion F(x)

Manchmal wird statt der Dichte $f(x)$ die Verteilungsfunktion $F(x)$ gegeben.

$F(x)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert kleiner als $x$ ist:

$$F(x)==P(X<<x)$$

Zusammenhang:

• $F(x)$ ist das Integral von $f(x)$
• $f(x)$ ist die Ableitung von $F(x)$

$$F(x)=={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt\text{und}f(x)==F^{\prime }(x)$$

Eigenschaften von $F(x)$:

• $F(-\infty )=0$ (Wahrscheinlichkeit, dass $X$ kleiner als minus unendlich ist, beträgt null)
• $F(+\infty )=1$ (Wahrscheinlichkeit, dass $X$ kleiner als plus unendlich ist, beträgt 100%)
• $F(x)$ ist immer monoton steigend (oder konstant)

Nützliche Formel:

$$P(a\le \le X\le \le b)==F(b)--F(a)$$

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Vollständig gelöstes Beispiel

Aufgabe: Eine Zufallsvariable $X$ hat eine Dichte, deren Graph ein Dreieck auf $[0,4]$ mit Spitze bei $x=2$ ist.

a) Bestimmen Sie die Höhe $h$.

b) Schreiben Sie $f(x)$ als stückweise definierte Funktion.

c) Berechnen Sie $P(1\le X\le 3)$.

Lösung:

a) Bestimmen Sie $h$ aus der Normierung:

Fläche des Dreiecks = 1:

$$\frac{1}{2}\cdot \cdot 4\cdot \cdot h==1⟹⟹h==\frac{1}{2}$$

b) Schreiben Sie $f(x)$ stückweise:

Linke Seite des Dreiecks: eine Gerade von $(0,0)$ nach $(2,\frac{1}{2})$:

$$f(x)==\frac{x}{4},0\le \le x\le \le 2$$

Rechte Seite: eine Gerade von $(2,\frac{1}{2})$ nach $(4,0)$:

$$f(x)==\frac{4-x}{4},2<<x\le \le 4$$

Außerhalb von $[0,4]$: $f(x)=0$.

c) Berechnen Sie $P(1\le X\le 3)$:

Das Intervall $[1,3]$ überlappt beide Stücke, daher teilen wir bei $x=2$:

$$P(1\le \le X\le \le 3)=={\int }_1^2\frac{x}{4}dx++{\int }_2^3\frac{4-x}{4}dx$$

Erstes Integral:

$${\int }_1^2\frac{x}{4}dx==\frac{1}{4}\cdot \cdot \frac{x^2}{2}{|}_1^2==\frac{1}{8}(4-1)==\frac{3}{8}$$

Zweites Integral:

$${\int }_2^3\frac{4-x}{4}dx==\frac{1}{4}{\left[4x-\frac{x^2}{2}\right]}_2^3==\frac{1}{4}\left[\left(12-\frac{9}{2}\right)-\left(8-2\right)\right]==\frac{1}{4}\cdot \cdot \frac{3}{2}==\frac{3}{8}$$

Ergebnis:

$$P(1\le \le X\le \le 3)==\frac{3}{8}++\frac{3}{8}==\frac{3}{4}$$

Das ergibt Sinn: ein symmetrisches Intervall um die Spitze enthält 75% der Wahrscheinlichkeit.

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Häufige Fehler

Fehler 1: Normierung vergessen

Wenn Ihnen $f(x)$ gegeben ist und nicht gesagt wird, dass es eine Dichte ist, prüfen Sie dies! Das Integral muss 1 ergeben.

Fehler 2: Integrieren, wo $f(x)=0$ ist

Wenn $f(x)=0$ außerhalb von $[0,2]$, dann integrieren Sie bei der Berechnung von $P(X\le 5)$ nur bis 2, nicht bis 5.

Fehler 3: $f(x)$ und $F(x)$ verwechseln

• $f(x)$: Dichte (kann größer als 1 sein!)
• $F(x)$: Wahrscheinlichkeit (immer zwischen 0 und 1)

Fehler 4: Denken, dass $P(X=a)\ne 0$

Bei einer stetigen Variable ist die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt zu treffen, immer null. Das ist kein Fehler in der Aufgabe, sondern eine mathematische Tatsache.

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Normalverteilung: das wichtigste Beispiel

Die Normalverteilung (Glockenkurve) ist die bekannteste stetige Verteilung in der Statistik. Körpergrößen, Messfehler, Prüfungsergebnisse: all das folgt ihr näherungsweise.

Ihre Dichtefunktion:

$$f(x)==\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$

Hier stehen $\mu =0$ (Erwartungswert) und $\sigma =1$ (Standardabweichung) fest. Ziehen Sie die roten und grünen Punkte, um $P(a<X<b)$ zu berechnen.

Wichtige Eigenschaften:

• Symmetrisch um $\mu$
• ~68% der Wahrscheinlichkeit liegen in $[\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$
• ~95% liegen in $[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$

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Überprüfen Sie Ihr Wissen

Jetzt Sie1 von 2

Die Funktion $f(x)=c\cdot (3-x)$ für $0\le x\le 3$ und $f(x)=0$ sonst ist eine Dichte. Wie groß ist $P(X\le 1)$?

A$\frac{10}{18}$B$\frac{15}{18}$C$\frac{8}{18}$D$\frac{12}{18}$

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Jetzt Sie2 von 2

$X$ ist auf dem Intervall $[2,10]$ gleichverteilt. Welche Werte haben $P(X<4)$ und $P(X\le 4)$?

A$P(X<4)=\frac{1}{2}$ und $P(X\le 4)=\frac{1}{2}$B$P(X<4)=\frac{1}{4}$ und $P(X\le 4)=\frac{3}{8}$C$P(X<4)=\frac{1}{4}$ und $P(X\le 4)=\frac{1}{4}$D$P(X<4)=\frac{1}{2}$ und $P(X\le 4)=\frac{5}{8}$

Prüfen

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Formeln zum Merken

Wahrscheinlichkeit = Fläche:

$$P(a\le \le X\le \le b)=={\int }_a^{b}f(x)dx$$

Normierungsbedingung:

$$\int f(x)dx==1$$

Erwartungswert:

$$E(X)==\int x\cdot \cdot f(x)dx$$

Gleichverteilung auf $[a,b]$:

• Dichte: $f(x)=\frac{1}{b-a}$
• Erwartungswert: $E(X)=\frac{a+b}{2}$

Zusammenhang zwischen $f$ und $F$:

$$f(x)==F^{\prime }(x),F(x)==\int f(x)dx$$