Faires Spiel und Erwartungswert

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Einleitung

Eine Aufgabe zum fairen Spiel beschreibt ein Zufallsexperiment (Würfel, Münzen, Glücksrad, Karten oder eine Urne) und ordnet einigen Ausgängen einen Geldbetrag zu. Bei manchen Ausgängen bekommt man Geld, bei den übrigen muss man einen unbekannten Betrag $X$ zahlen. Gesucht ist das $X$, bei dem das Spiel fair ist.

Die eigentliche Arbeit steckt fast immer in den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausgänge. Die Gleichung für $X$ ist danach eine Zeile. Deshalb fragen die Aufgaben oft zuerst nach den Wahrscheinlichkeiten und nach der Verlustwahrscheinlichkeit und erst am Ende nach $X$.

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Der Erwartungswert des Gewinns

Wir bezeichnen den Gewinn des Spielers in einer Runde mit $V$. Er ist eine Zufallsgröße: Je nach Ausgang nimmt er einen der Werte $g_1,g_2,\dots ,g_m$ an. Ein Betrag, den man bekommt, ist positiv, ein Betrag, den man zahlt, negativ.

Der Erwartungswert des Gewinns gewichtet jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit:

$$E(V)==g_1\cdot \cdot P(V==g_1)++g_2\cdot \cdot P(V==g_2)++\dots ++g_m\cdot \cdot P(V==g_m)$$

$E(V)$ ist der durchschnittliche Gewinn pro Runde, wenn man das Spiel sehr oft spielt. In einer einzelnen Runde kommt dieser Wert meist gar nicht vor: Man bekommt oder zahlt immer einen der Beträge $g_i$.

Beispiel: Man würfelt einmal. Bei einer 6 bekommt man 4 €, sonst zahlt man 1 €.

$$E(V)==4\cdot \cdot \frac{1}{6}++(-1)\cdot \cdot \frac{5}{6}==\frac{4-5}{6}==-\frac{1}{6}\approx \approx -0,17\text{€}$$

Auf lange Sicht verliert der Spieler also etwa 17 Cent pro Runde. Das Vorzeichen sagt, für wen das Spiel günstig ist:

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Die Bedingung für ein faires Spiel

Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns null ist:

$$\boxed{E(V)=0}$$

In den Aufgaben ist ein Betrag unbekannt, meist der Betrag $X$, den man im Verlustfall zahlt. Gibt es die Gewinne $g_1,g_2,\dots$ mit den Wahrscheinlichkeiten $p_1,p_2,\dots$ und den Verlust $X$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(\text{Verlust})$, dann lautet die Bedingung

$$g_1{p}_1++g_2{p}_2++\dots --X\cdot \cdot P(\text{Verlust})==0$$

Das $X$ steht mit Minus in der Gleichung, weil man es zahlt. Nach $X$ aufgelöst:

$$\boxed{X=\frac{g_1{p}_1+g_2{p}_2+\dots }{P(\text{Verlust})}}$$

Im Zähler steht, was man im Schnitt pro Runde gewinnt, im Nenner, wie oft man zahlt. Je seltener der Verlust, desto höher darf $X$ sein.

Sind alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, kürzt sich der gemeinsame Nenner weg. Dann genügen die Anzahlen der Ausgänge: $n_1,n_2,\dots$ für die Gewinne und $n_X$ für den Verlust.

$$X==\frac{g_1{n}_1+g_2{n}_2+\dots }{n_X}$$

Vorgehen

1. Ereignisse festlegen: Welche Ausgänge bringen welchen Betrag? Jeder Ausgang gehört zu genau einem Ereignis.
2. Wahrscheinlichkeiten bestimmen, für jedes Ereignis einzeln.
3. Kontrolle: Die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen $1$. Die Verlustwahrscheinlichkeit ist der Rest, $P(\text{Verlust})=1-p_1-p_2-\dots$
4. Ansatz $E(V)=0$ anschreiben, mit $-X$ beim Verlust.
5. Nach $X$ auflösen und erst ganz am Ende auf Cent runden.

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Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse

Die Ausgänge der Spiele sind gleich wahrscheinlich, also gilt die Laplace-Regel $P=\frac{\text{gu¨nstige Ausga¨nge}}{\text{mo¨gliche Ausga¨nge}}$. Gezählt wird so:

Zwei Würfel, die „gleichzeitig“ geworfen werden, sind trotzdem zwei verschiedene Würfel. Das Ergebnis „eine 2 und eine 5“ besteht aus den zwei Ausgängen $(2,5)$ und $(5,2)$. „Der Reihe nach 1, dann 2“ ist dagegen nur ein einziger Ausgang.

Zählbeispiel mit vier Würfeln: Wie viele der $6^4=1296$ Ausgänge zeigen genau ein Paar gleicher Zahlen, während die beiden anderen Würfel zwei weitere, verschiedene Zahlen zeigen? Man wählt die zwei Würfel des Paares ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ Möglichkeiten), die Zahl des Paares ($6$) und die Zahlen der beiden anderen Würfel ($5\cdot 4=20$):

$$6\cdot \cdot 6\cdot \cdot 20==720,P==\frac{720}{1296}==\frac{5}{9}$$

Nach demselben Muster zählt man „alle gleich“ oder „genau drei gleich“: zuerst die Positionen, dann die Zahlen.

Für die Zählregeln selbst siehe das Thema „Kombinatorik“, für „genau $k$-mal“ bei wiederholten Versuchen das Thema „Binomialverteilung“.

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Beispiele

Beispiel 1: Zwei Ausgänge

Ein Glücksrad hat acht gleich große Sektoren, drei davon sind golden. Bleibt das Rad auf Gold stehen, bekommt man 10 €, sonst zahlt man $X$ Euro.

$P(\text{Gold})=\frac{3}{8}$ und $P(\text{Verlust})=\frac{5}{8}$.

$$10\cdot \cdot \frac{3}{8}--X\cdot \cdot \frac{5}{8}==0|\cdot \cdot 8$$ $$30==5X$$ $$\boxed{X=6\text{€}}$$

Mit Anzahlen gerechnet: drei Sektoren bringen je 10 €, fünf Sektoren kosten je $X$, also $30=5X$.

Beispiel 2: Zwei Gewinne, ein Verlust

In einer Urne liegen 2 goldene, 5 silberne und 8 schwarze Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bei Gold bekommt man 30 €, bei Silber 6 €, bei Schwarz zahlt man $X$ Euro.

Von den 15 Kugeln sind 8 schwarz, also $P(\text{Verlust})=\frac{8}{15}\approx 0,5333$.

$$30\cdot \cdot \frac{2}{15}++6\cdot \cdot \frac{5}{15}--X\cdot \cdot \frac{8}{15}==0|\cdot \cdot 15$$ $$60++30==8X$$ $$\boxed{X=\frac{90}{8}=11,25\text{€}}$$

Beispiel 3: „Genau einer“ bei zwei Würfeln

Zwei Würfel werden geworfen. Zeigen beide eine Zahl größer als 4, bekommt man 9 €. Zeigt genau einer eine Zahl größer als 4, bekommt man 2 €. Sonst zahlt man $X$ Euro.

Jeder Würfel zeigt mit $2$ von $6$ Zahlen (5 oder 6) mehr als 4. Von den 36 Ausgängen:

• beide größer als 4: $2\cdot 2=4$
• genau einer: erster ja und zweiter nein, oder umgekehrt, $2\cdot 4+4\cdot 2=16$
• keiner: $4\cdot 4=16$

Kontrolle: $4+16+16=36$.

$$9\cdot \cdot 4++2\cdot \cdot 16--X\cdot \cdot 16==0$$ $$36++32==16X$$ $$\boxed{X=\frac{68}{16}=4,25\text{€}}$$

Wer bei „genau einer“ nur $2\cdot 4=8$ Ausgänge zählt, vergisst die zweite Reihenfolge, und die Summe ergibt nicht mehr 36.

Beispiel 4: Ereignisse, die sich überschneiden

Zwei Würfel werden geworfen. Ist die Augensumme 7, bekommt man 5 €. Fällt mindestens eine 1, die Augensumme ist aber nicht 7, bekommt man 1 €. Sonst zahlt man $X$ Euro.

Die Tabelle zeigt alle 36 Ausgänge: S für Augensumme 7, E für mindestens eine 1 ohne Augensumme 7, ein Punkt für Verlust.

„Mindestens eine 1“ hat $36-25=11$ Ausgänge. Zwei davon, $(1,6)$ und $(6,1)$, haben die Augensumme 7 und gehören schon zum Gewinn von 5 €. Für den Gewinn von 1 € bleiben $9$ Ausgänge, für den Verlust $36-6-9=21$.

$$5\cdot \cdot 6++1\cdot \cdot 9--X\cdot \cdot 21==0$$ $$39==21X$$ $$\boxed{X=\frac{39}{21}=\frac{13}{7}\approx 1,86\text{€}}$$

Beispiel 5: Ziehen ohne Zurücklegen

In einer Urne liegen 4 goldene und 8 schwarze Kugeln. Es werden 3 Kugeln gleichzeitig gezogen. Sind alle drei golden, bekommt man 50 €. Sind genau zwei golden, bekommt man 5 €. Sonst zahlt man $X$ Euro.

Es gibt $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$ gleich wahrscheinliche Griffe.

• drei goldene: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$
• genau zwei goldene und eine schwarze: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}\right)=6\cdot 8=48$
• Verlust: $220-4-48=168$, also $P(\text{Verlust})=\frac{168}{220}\approx 0,7636$

Dasselbe Ergebnis liefert der Baum für „drei goldene“: $\frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11}\cdot \frac{2}{10}=\frac{1}{55}=\frac{4}{220}$.

$$50\cdot \cdot 4++5\cdot \cdot 48--X\cdot \cdot 168==0$$ $$200++240==168X$$ $$\boxed{X=\frac{440}{168}=\frac{55}{21}\approx 2,62\text{€}}$$

Beispiel 6: Wiederholung und Gegenereignis

Ein Glücksrad ist zu einem Viertel rot. Es wird dreimal gedreht. Bleibt es dreimal auf Rot stehen, bekommt man 40 €. Bleibt es mindestens einmal, aber nicht dreimal auf Rot stehen, bekommt man 2 €. Bleibt es nie auf Rot stehen, zahlt man $X$ Euro.

Die Drehungen sind unabhängig, also werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert:

$$P(\text{dreimal Rot})=={\left(\frac{1}{4}\right)}^3==\frac{1}{64},P(\text{nie Rot})=={\left(\frac{3}{4}\right)}^3==\frac{27}{64}$$

Der mittlere Fall ist der Rest: $1-\frac{1}{64}-\frac{27}{64}=\frac{36}{64}$.

$$40\cdot \cdot \frac{1}{64}++2\cdot \cdot \frac{36}{64}--X\cdot \cdot \frac{27}{64}==0|\cdot \cdot 64$$ $$40++72==27X$$ $$\boxed{X=\frac{112}{27}\approx 4,15\text{€}}$$

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EPM-Aufgabe: Vollständige Lösung

Aufgabe: Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten (13 davon Herz) werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Sind beide Karten Herz, bekommt man 20 €. Ist genau eine Karte Herz, bekommt man 2 €. In allen anderen Fällen muss man $X$ Euro zahlen.

a) Wahrscheinlichkeit für zwei Herz? b) Wahrscheinlichkeit für genau ein Herz? c) Verlustwahrscheinlichkeit? d) Für welches $X$ ist das Spiel fair?

Lösung: Es gibt $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{52}{2}\right)=1326$ gleich wahrscheinliche Paare von Karten.

a) $P(\text{zwei Herz})=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{2}\right)}{1326}=\frac{78}{1326}=\frac{1}{17}\approx 0,05882$

Zur Kontrolle mit dem Baum: $\frac{13}{52}\cdot \frac{12}{51}=\frac{1}{17}$.

b) $P(\text{genau ein Herz})=\frac{13\cdot 39}{1326}=\frac{507}{1326}=\frac{13}{34}\approx 0,38235$

c) Kein Herz: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{39}{2}\right)=741$ Paare, also $P(\text{Verlust})=\frac{741}{1326}=\frac{19}{34}\approx 0,55882$. Kontrolle: $78+507+741=1326$.

d) Mit den Anzahlen:

$$20\cdot \cdot 78++2\cdot \cdot 507--X\cdot \cdot 741==0$$ $$1560++1014==741X$$ $$\boxed{X=\frac{2574}{741}=\frac{66}{19}\approx 3,47\text{€}}$$

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Typische EPM-Fragestellungen

Der Aufgabentext folgt fast immer demselben Muster: „Folgendes Spiel wird vereinbart: ... bekommt man ... In allen anderen Fällen muss man $X$ Euro zahlen. Bestimmen Sie $X$ so, dass das Spiel fair ist!“

• Verlustwahrscheinlichkeit: die Wahrscheinlichkeit, $X$ zahlen zu müssen. Sie ist der Nenner der Formel für $X$ und wird oft als eigene Teilaufgabe verlangt.
• Teilaufgaben a) bis d): zuerst die Wahrscheinlichkeiten der Gewinnereignisse, dann die Verlustwahrscheinlichkeit, zuletzt $X$. Jede Teilaufgabe verwendet die Ergebnisse der vorigen.
• Formulierungen mit „aber nicht“ oder „kein“: Sie trennen zwei Ereignisse, die sich sonst überschneiden würden, wie in Beispiel 4. Fragt eine Teilaufgabe nach der Wahrscheinlichkeit des ganzen Ereignisses ohne diese Einschränkung, ist das eine andere Zahl als die des Gewinnereignisses.
• Angabe des Ergebnisses: Wahrscheinlichkeiten als Bruch oder mit vier bis fünf Nachkommastellen, $X$ in Euro auf Cent gerundet.

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Häufige Fehler

Fehler 1: $X$ mit falschem Vorzeichen

$X$ ist ein Betrag, den man zahlt, und steht deshalb mit Minus im Ansatz. Wer $+X$ schreibt, erhält ein negatives $X$. Ein negatives Ergebnis ist das Zeichen dafür, dass ein Vorzeichen falsch ist.

Fehler 2: Überschneidungen doppelt zählen

Gehört ein Ausgang zu zwei Gewinnereignissen, wird er doppelt gezählt, und die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen mehr als $1$. Die Kontrolle „Summe $=1$“ deckt das sofort auf. Abhilfe: jeden Ausgang genau einem Ereignis zuordnen, wie in der Tabelle von Beispiel 4.

Fehler 3: Reihenfolge falsch behandelt

„Genau einer von zwei Würfeln“ hat zwei Reihenfolgen (Beispiel 3). „Der Reihe nach 1, 2, 3“ hat genau eine: ${\left(\frac{1}{6}\right)}^3$. Dieselben drei Zahlen in beliebiger Reihenfolge haben $3!=6$ Ausgänge.

Fehler 4: Zu früh gerundet

Rechnet man in Beispiel 4 mit gerundeten Wahrscheinlichkeiten $0,17$, $0,25$ und $0,58$, entsteht

$$X==\frac{5\cdot 0,17+1\cdot 0,25}{0,58}\approx \approx 1,90\text{€}$$

statt $1,86$ €. Mit Brüchen oder Anzahlen rechnen und nur das Endergebnis runden.

Fehler 5: Einen Einsatz zusätzlich abziehen

In diesen Aufgaben ist „bekommt man 5 €“ bereits der Gewinn der Runde, und $X$ zahlt man nur im Verlustfall. Es gibt keinen weiteren Einsatz, der von jedem Gewinn abzuziehen wäre. Nur wenn der Text ausdrücklich einen Einsatz nennt, den man vor jeder Runde zahlt, ist der Gewinn eines Ausgangs die Auszahlung minus dieser Einsatz.

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Überprüfen Sie Ihr Wissen

Jetzt Sie1 von 2

Ein Glücksrad hat fünf gleich große Sektoren. Bei zwei Sektoren bekommt man 6 €, bei den drei anderen zahlt man 3 €. Was gilt für dieses Spiel?

AEs ist fair.BEs ist günstig für den Spieler, mit $E(V)=0,60$ € pro Runde.CEs ist ungünstig für den Spieler, mit $E(V)=-0,60$ € pro Runde.DEs ist günstig für den Spieler, mit $E(V)=3$ € pro Runde.

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Jetzt Sie2 von 2

Zwei Münzen werden geworfen. Bei zweimal Kopf bekommt man 6 €, bei genau einmal Kopf 2 €, bei zweimal Zahl zahlt man $X$ Euro. Für welches $X$ ist das Spiel fair?

A$X=8$ €B$X=2,50$ €C$X=10$ €D$X=6$ €

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Formeln zum Merken

Erwartungswert des Gewinns:

$$E(V)==\sum _i{g}_i\cdot \cdot P(V==g_i)$$

Faires Spiel:

$$E(V)==0$$

Fairer Verlustbetrag:

$$X==\frac{g_1{p}_1+g_2{p}_2+\dots }{P(\text{Verlust})}$$

Verlustwahrscheinlichkeit:

$$P(\text{Verlust})==1--p_1--p_2--\dots$$

Mindestens ein Treffer:

$$P(\text{mindestens einer})==1--P(\text{keiner})$$