Aufgabenstellung

Ein Gemüseverkäufer bezieht Tomaten von drei verschiedenen Produzenten $A$, $B$ und $C$. Eine Lieferung von insgesamt 750 kg Tomaten stammt zur Hälfte vom Produzenten $A$. Vom Produzenten $B$ stammen 150 kg und der Rest stammt von Produzenten $C$. Bei einer Qualitätskontrolle stellt der Verkäufer fest, dass 45 kg der gesamten Lieferung verdorben sind. Eine genaue Untersuchung ergibt, dass 96% der Tomaten vom Produzenten $A$ in Ordnung (= unverdorben) sind und 12 kg der Tomaten vom Produzenten $C$ verdorben sind.

1. Stellen Sie die Situation durch eine Tabelle dar!

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

   1. eine beliebig ausgewählte Tomate vom Produzenten $C$ stammt!

   2. eine beliebig ausgewählte Tomate unverdorben ist!

   3. eine beliebig ausgewählte Tomate unverdorben ist und vom Produzenten $C$ stammt!

   4. eine Tomate, die vom Produzenten $B$ stammt, unverdorben ist!

   5. eine verdorbene Tomate vom Produzenten $A$ stammt!

Aufgabenstellung

Von einem Viereck $ABCD$ kennt man die Seitenlängen

sowie die Länge der Diagonale $\overline{AC}=141,8\text{m}$ und den Winkel $\gamma =\angle BCD=131,0°$

Berechnen Sie den Winkel $\delta =\angle CDA$ des Vierecks $ABCD$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Ebene $\epsilon :8x-y+4z=21$ und die Punkte $P(4|-5|-2)$ und $Q(-5|-5|10)$!

1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g[P,Q]$ an auf der die Punkte $P$ und $Q$ liegen!

2. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g[P,Q]$ und der Ebene $\epsilon$!

3. Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden $g[P,Q]$ und der Ebene $\epsilon$!

4. Berechnen Sie den Normalabstand $d(T,g[P,Q])$ des Punkts $T(15|-5|0)$ von der Geraden $g[P,Q]$!

5. Geben Sie die Koordinaten eines Punkts $A$ an, der den Normalabstand $d(A,\epsilon )=18$ von der Ebene $\epsilon$ hat! Verwenden Sie die Methode der Ortsvektoren!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

Die zweite Ableitung der Funktion

dürfen Sie ohne Berechnung verwenden.

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten der Funktion $f$ an!

3. Berechnen Sie die Extrem- und die Wendepunkte von $f$!

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. In Abbildung 1(a) ist der Graph einer Kurve $g$ dargestellt. Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(-2)$ in der Abbildung ein und geben Sie an, wie groß der Wert circa ist!

2. Markieren Sie den Wendepunkt des Funktionsgraphen in der Abbildung 1(b)!

3. Von einer Funktion $f$ kennt man die Gleichungen von drei Tangenten:

   Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(3|y_P)$ hat die Gleichung $t_P:3x+2y=4$

   Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(-3|y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q:x=3y$

   Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $T(2|y_T)$ hat die Gleichung $t_T:3y+10=0$

   Geben Sie 6 Bedingungen für diese Funktion an!

Aufgabenstellung

Der Punkt $P(10|5)$ liegt auf der Kurve $f:y=\sqrt{a\cdot x}$

1. Berechnen Sie $a$!

2. Die Kurve $f$, die Tangente an $f$ im Punkt $P$ und die y-Achse begrenzen ein endliches Flächenstück.

   1. Skizzieren Sie dieses Flächenstück!

   2. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Flächenstücks!

Aufgabenstellung

1. Berechnen Sie

   $$\int x^2\left(\frac{4^x}{x}-e^{1-x^3}\right)dx$$

2. Skizzieren Sie das Flächenstück, welches mit ${\int }_{-3}^{-2}\sqrt{-1-x}dx$ berechnet wird!

   Gesucht ist nur die Skizze! Die Berechnung des Werts des Integrals von (b) bringt keine Punkte!

3. Berechnen Sie:

   $$\sum _{n=1}^{25}\frac{3^{2n}}{10^n}$$

Aufgabenstellung

1. Die Fläche eines exponentiell wachsenden Schimmelpilzes vergrößert sich innerhalb von 4 Tagen von 2 cm² auf 3,5 cm².

   1. Um wieviel Prozent wächst der Schimmelpilz pro Tag?

   2. Wie lange braucht der Schimmelpilz um auf die vierfache Größe zu wachsen?

2. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge $G=\mathbb{R}$. Die Lösungen sind als Dezimalzahlen anzugeben!

   $$\ln (2-x)-1=-\ln (x+2)$$

Aufgabenstellung

Für die Markteinführung einer neuen Zeitschrift wurde eine Studie in Auftrag gegeben um den Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und Absatz zu ermitteln. Dabei hat sich gezeigt, dass ein linearer Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und verkaufter Stückzahl besteht. Die Verkaufszahl sinkt pro Cent Preiserhöhung um 20 Exemplare. Bei einem Preis von 2 € können 6000 Exemplare verkauft werden.

1. Bestimmen Sie die lineare Nachfragefunktion und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!

2. Wieviele Exemplare dieser Zeitschrift können maximal abgesetzt werden?

3. Ab welchem Preis wird kein einziges Exemplar mehr gekauft?

4. Bestimmen Sie jene Funktion, die die Einnahmen in Abhängigkeit vom Verkaufspreis angibt, geben Sie die Definitionsmenge an und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!

5. Berechnen Sie den Verkaufspreis, für den die Einnahmen maximal werden!

6. Wie hoch sind die maximalen Einnahmen?

7. Wieviele Exemplare werden in diesem Fall verkauft?