VGUH Jänner 2023

Ein Baum steht an einer Böschung mit dem Böschungswinkel $10°$. Bei einem Einfallswinkel der Sonne von $35°$ beträgt die Länge des Baumschattens $12,5\text{m}$. Wie hoch ist der Baum?

Skizze: Baum an einer Böschung mit Sonnenstrahlen

Gegeben ist das Parallelogramm $ABCD$: $A(1/3/-2)$, $B(5/7/2)$, $C(3/8/4)$, $D$.

1. Geben Sie die Gleichung der Ebene $\epsilon (A,B,C)$ in Normalform an.

2. Bestimmen Sie $D$ und berechnen Sie die Winkel und den Flächeninhalt des Parallelogramms $ABCD$.

3. Welchen Abstand hat der Ursprung $O$ von der Geraden $h(A,B)$?

4. Bestimmen Sie alle Punkte $P$ auf der Geraden $g(C,D)$, für welche das Dreieck $ABP$ rechtwinklig ist mit rechtem Winkel bei $P$.

Nimmt man ein bestimmtes Lebensmittel aus dem Kühlschrank, so nimmt die darin enthaltene Anzahl Keime exponentiell zu. Nach zwei Stunden werden $8000$ Keime pro ${\text{cm}}^3$ gezählt. Noch eine Stunde später sind es $27000$ Keime.

1. Berechnen Sie den Wachstumsfaktor und geben Sie ein Wachstumsgesetz sowie das prozentuelle Wachstum pro Stunde an.

2. Wie viele Keime sind nach $2$ Tagen an der Wärme pro ${\text{cm}}^3$ vorhanden?

3. Nach wie vielen Minuten an der Wärme haben sich die Keime verdreifacht?

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{x^2-2x+4}{x(x+2)}$.

Berechnen Sie alle Nullstellen und Extremwerte von $f$ und geben Sie auch die Art der Extrempunkte an.

Eine Kurve wird durch die Gleichung $f(x)=5\sqrt{x}-x\sqrt{x}$ beschrieben.

1. Berechnen Sie in den Nullstellen von $f$ die Gleichungen der Tangenten an die Kurve.

2. Berechnen Sie die Fläche zwischen Kurve und $x$-Achse.

3. Die Fläche aus b) rotiert um die $x$-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

4. Dem Körper aus c) wird ein Kegel mit der Spitze im Ursprung und der Höhe $h$ auf der $x$-Achse eingeschrieben (siehe Skizze). Für welche Höhe $h$ wird das Volumen des Kegels maximal?

Drei Kanonen $A$, $B$, $C$ haben die Trefferwahrscheinlichkeiten $P(A)=\frac{1}{5}$, $P(B)=\frac{3}{20}$, $P(C)=\frac{1}{10}$. Bei einer Salve wird aus allen drei Kanonen je ein Schuss abgefeuert.

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Abschuss einer Salve das Ziel genau zweimal (also von zwei der drei Kanonen) getroffen wird.

2. Nach dem Abfeuern einer Salve wurde das Ziel getroffen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Kanone $B$ einen Treffer gelandet?

Die Abfüllmaschine einer Düngemittelfabrik füllt Säcke vorschriftsmäßig zu $20\text{kg}$ ab, annähernd normalverteilt, und mit einer Streuung $\sigma$ von $150\text{g}$.

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sack weniger als $19,9\text{kg}$ wiegt.

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sack höchstens $1\%$ vom vorgeschriebenen Gewicht abweicht.