März, Jahr nicht bekannt

In einer medizinischen Studie, bei der es um die Impfung gegen eine Erkrankung geht, werden insgesamt 2510 Patienten beobachtet. Wobei von den insgesamt 1608 geimpften Patienten 203 Patienten trotzdem erkranken. 106 Patienten sind nicht geimpft und auch nicht erkrankt.

1. Erstellen Sie eine Vierfeldertafel und vervollständigen Sie diese!

2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte

   1. Person nicht erkrankt ist!
   2. geimpfte Person erkrankt ist!
   3. erkrankte Person geimpft ist!
   4. erkrankte Person nicht geimpft ist!

Von einem Trapez $ABCD$ mit den Parallelseiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ kennt man die Seiten

und die Winkel

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{AB}$ und die Länge der Diagonale $\overline{AC}$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Gegeben ist die Ebene

1. Geben Sie eine Gleichung der Ebene $\epsilon$ in Normalform an!

2. Die Schnittpunkte der Ebene $\epsilon$ mit den Koordinatenachsen bilden ein Dreieck. Berechnen Sie die Winkel dieses Dreiecks!

3. Geben Sie die Koordinaten eines Punkts $T$ an, der von der Ebene $\epsilon$ den Normalabstand $d=21$ hat!

Gegeben ist die Funktion

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von $f$!

3. Berechnen Sie $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Von einer Funktion $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man: $g(5)=1$ und $g^{\prime }(5)=-3$.

1. Zeichnen Sie die durch die Bedingungen gegebene Tangente!

   1. Zeichnen Sie die durch die Bedingungen gegebene Tangente!
   2. Skizzieren Sie eine mögliche Kurve $g$ in einer Umgebung des Tangentialpunkts im Koordinatensystem rechts!

2. Von einer Polynomfunktion dritten Grades weiß man Folgendes:

   Die Tangente an $f$ im Punkt $Q(0|y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q:x+y=7$

   Die Tangente an $f$ im Punkt $R(-1|y_R)$ hat die Gleichung $t_R:3x+y=2$

   Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion $f$!

Die Kurve $f:y=-x^2+2x+3$ und die Gerade

begrenzen ein endliches Flächenstück.

1. Skizzieren Sie dieses Flächenstück!

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks!

1. Berechnen Sie:

   $$\int x\left(\frac{x}{1-x}+2^x\right)dx$$

2. Skizzieren Sie das Flächenstück, welches mit ${\int }_{-1}^2(x^2+1)dx$ berechnet wird!

3. Berechnen Sie:

   $$\sum _{n=10}^{50}(40-2n)$$

Ein Lichtstrahl, der in Wasser eindringt, wird exponentiell geschwächt. Wenn der Lichtstrahl 4 Meter Wasser durchdringt, verliert er 40% an Intensität.

1. 1. Auf welcher Länge im Wasser verliert der Lichtstrahl 50% seiner Intensität?

   2. Wieviel Prozent an Intensität verliert der Lichtstrahl pro Meter Wassertiefe?

2. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge $\mathbb{R}$ an!

   $$\ln (10-x)=1+\ln (x)$$

In einer Firma soll für die Mitarbeiter ein Kaffeeautomat aufgestellt werden. Man weiß, dass die verkaufte Stückzahl bei einem Preis von 70 Cent pro Becher 540 Stück pro Tag beträgt. Bei einem Preis von 50 Cent beträgt der Absatz 660 Stück pro Tag. Es wird angenommen, dass die pro Tag verkaufte Stückzahl linear vom Preis abhängt.

1. Ab welchem Preis kauft niemand mehr Kaffee von diesem Automaten?

2. Wie viele Becher Kaffee können maximal pro Tag verkauft werden?

3. Skizzieren Sie den Graphen jener Funktion, welche die verkaufte Stückzahl in Abhängigkeit vom Preis angibt!

4. Skizzieren Sie den Graphen jener Funktion, welche die täglichen Einnahmen in Abhängigkeit vom Preis angibt und geben Sie ihre Definitionsmenge an!

5. Wie muss der Automatenbetreiber den Preis wählen, damit die Einnahmen maximal werden?

6. Wie hoch sind die maximalen täglichen Einnahmen?

7. Wieviel Becher Kaffee werden pro Tag verkauft, wenn die Einnahmen maximal sind?