Aufgabenstellung

In einer Urne befinden sich 4 rote, 3 grüne und eine weiße Kugel.

1. Es wird 6 mal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

   1. nur grüne Kugeln

   2. mindestens eine grüne Kugel

   3. genau 2 grüne Kugeln

   4. 2 grüne, 2 rote und 2 weiße Kugeln

   5. nur Kugeln mit gleicher Farbe

   gezogen werden?

2. Wie oft muss man ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine weiße Kugel größer als 98% ist?

Aufgabenstellung

Von einem Parallelogramm $ABCD$ kennt man

und den Winkel

Berechnen Sie die Länge der Seite $a=\overline{AB}$ und die Länge der Diagonale $e=\overline{AC}$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Gerade $g$ und der Punkt $Q$:

1. Geben Sie eine Gleichung jener Ebene $\epsilon$ an, auf der die Gerade $g$ und der Punkt $Q$ liegen!

2. In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneidet die $y$-Achse die Ebene $\epsilon$?

3. Berechnen Sie den Normalabstand $d(R,g)$ des Punkts $R(-1|5|6)$ von der Geraden $g$!

4. Berechnen Sie den Normalabstand $d(R,\epsilon )$ des Punkts $R(-1|5|6)$ von der Ebene $\epsilon$!

5. Geben Sie die Koordinaten eines Punkts $T$ an, dessen Normalabstand $d(T,\epsilon )$ von der Ebene $\epsilon$ gleich 22 ist!

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von $f$!

3. Berechnen Sie $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

Aufgabenstellung

1. In der Abbildung rechts ist der Graph einer Kurve $g$ abgebildet.
   Zeichnen Sie die folgenden Größen in der Abbildung rechts ein und schätzen Sie ihren Wert ab:
   1. $g(1)$
   2. $g^{\prime }(1)$
   

   Graph of curve g showing a parabola opening downward

2. Von einer Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ weiß man Folgendes:
   • Die Tangente an $f$ im Punkt $Q(2|y_Q)$ hat die Gleichung $t_Q:x+2y=7$
   • Die Tangente an $f$ im Punkt $R(-1|y_R)$ hat die Gleichung $t_R:3x-3y=1$
   • $W(0|-5)$ ist Wendepunkt von $f$
   Geben Sie 6 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

Aufgabenstellung

Der Punkt $P(6|3)$ liegt auf der Kurve $f:y=\sqrt{a\cdot x}$

1. Berechnen Sie $a$!

2. Die Kurve $f$, die Tangente an $f$ im Punkt $P$ und die $y$-Achse begrenzen ein endliches Flächenstück.

   1. Skizzieren Sie dieses Flächenstück!

   2. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Flächenstücks!

Aufgabenstellung

1. Berechnen Sie: $\int 40x^3\left(\ln (x)+\frac{x}{\sqrt{x^5-1}}\right)dx$

2. Skizzieren Sie das Flächenstück, welches mit ${\int }_{-1}^2\sqrt{3-x}dx$ berechnet wird!

   Gesucht ist nur die Skizze! Die Berechnung des Werts des Integrals von (b) bringt keine Punkte!

3. Berechnen Sie: $5+5\sqrt{2}+10+10\sqrt{2}+\cdots +640=$

Aufgabenstellung

1. Eine exponentiell wachsende Bakterienkultur wächst in 4 Stunden um 63,1%.

   1. Um wieviel Prozent wächst die Bakterienkultur pro Stunde?

   2. Berechnen Sie, in welcher Zeit sich die Bakterienkultur verdoppelt!

   3. Um wieviel Prozent wächst die Bakterienkultur in 5 Stunden?

2. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge $G=\mathbb{R}$ an:
   $$\lg (x+12)+2-\lg (12-8x)=0$$

   mit der Notation: $\lg (x)={}^{10}\log (x)={\log }_{10}(x)$

Aufgabenstellung

Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung

auf 2 Nachkommastellen genau (Die zweite Nachkommastelle muss gerundet richtig sein!)

Verwenden Sie zur Bestimmung der ersten Lösung das Newtonsche Näherungsverfahren!