EPM April 2024

Die Funktionsdauer $x$ von Druckern eines bestimmten Typs ist durch den Graphen der Dichtefunktion $f$ gegeben.

Triangular probability density function graph from x=-1 to x=4

1. Bestimmen Sie die Höhe des Dreiecks so, dass $f$ eine Dichtefunktion ist!

2. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Dichtefunktion

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}...& \text{fu¨r}0\le x\le 4\\ ...& \text{fu¨r}4<x\le 5\\ ...& \text{sonst}\end{array}$$

3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Drucker genau 3 Jahre funktioniert?

4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Drucker höchstens 3 Jahre funktioniert?

5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Drucker, der schon 3 Jahre funktioniert mindestens 4 Jahre funktioniert?

6. Beschreiben Sie in einem deutschen Satz die Bedeutung von $P(3<x\le 5)$!

7. Berechnen Sie $P(2<x<4)$!

Von einem Trapez $ABCD$ mit den Parallelseiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ kennt man die Längen

und den Winkel $\gamma =\angle BCD=128,4°$.

Berechnen Sie die Länge der Seite $\overline{AB}$ und den Winkel $\alpha =\angle DAB$!

Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für Längen und Winkel richtig sein!

Gegeben sind die Punkte $A(-3\mid 3)$, $B(2\mid y_B)$ und $C(6\mid 0)$. Der Punkt $B$ liegt auf der Geraden $h$

1. Berechnen Sie $y_B$!

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $△ABC$!

3. Berechnen Sie den Winkel zwischen der Geraden $h$ und der Geraden $g[B,C]$ durch die Punkte $B$ und $C$!

4. Berechnen Sie die Koordinaten des Umkreismittelpunkts des Dreiecks $△ABC$!

5. Konstruieren Sie den Umkreismittelpunkt im Dreieck unterhalb!

Gegeben ist die Funktion

1. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die Nullstellen von $f$!

2. Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von $f$!

3. Berechnen Sie $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$!

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f$!

1. In der Abbildung rechts ist der Graph einer Funktion $g$ abgebildet. Zeichnen Sie den Wert von $g^{\prime }(1)$ in der Abbildung rechts ein und geben Sie an, wie groß der Wert ca. ist:

   

   Graph of polynomial function g with tangent line at x=1

2. Von einer Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ist folgendes bekannt:

   $f$ hat einen Wendepunkt $W(4\mid y_W)$ mit der Wendetangente $t_W:2y-3x=7$

   Die Tangente an $f$ im Punkt $P(-3\mid y_P)$ hat die Gleichung $t_P:x+5y=10$

   Die Tangente an $f$ im Tiefpunkt $T(5\mid y_T)$ hat die Gleichung $t_T:4y-11=0$

   Geben Sie 7 Bedingungen für die Funktion $f$ an!

Der Punkt $P(6\mid 3)$ liegt auf der Kurve $f:y=\sqrt{ax}$.

1. Berechnen Sie $a$!

2. Die Kurve $f$, die Tangente an $f$ im Punkt $P$ und die $y$-Achse begrenzen ein endliches Flächenstück.

   1. Skizzieren Sie dieses Flächenstück!

   2. Das Flächenstück rotiert um die $x$-Achse.

      Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

1. Berechnen Sie

   $$\int 18x^2\left(\frac{\sin (x)+\cos (7-x^2)}{3x}+\frac{5-3x}{1-3x}\right)dx$$

2. Berechnen Sie

   $$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^{2n}}{5^n}$$

1. Beobachtungen an einer exponentiell wachsenden Bakterienkultur zeigen, dass die Kultur innerhalb von 11 Stunden um 46% wächst.

   1. Um wie viel Prozent wächst die Bakterienkultur in 10 Stunden?

   2. Wie viele Stunden braucht die Bakterienkultur um auf den 10-fachen Wert zu wachsen?

   Genauigkeit: Die erste Nachkommastelle muss gerundet für den Prozentwert und die Zeitrichtung sein!

2. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge $G=\mathbb{R}$ an:

   $$\lg (12-11x)=\lg (x+9)+2$$

   mit der Notation: $\lg (x)={}^{10}\log (x)={\log }_{10}(x)$

Für die Markteinführung einer neuen Zeitschrift wurde eine Studie in Auftrag gegeben um den Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und Absatz zu ermitteln. Dabei hat sich gezeigt, dass ein linearer Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und verkäufter Stückzahl besteht. Die Verkaufszahl sinkt pro Cent Preiserhöhung um 40 Exemplare. Bei einem Preis von 3,20 € können 7200 Exemplare verkauft werden.

1. Bestimmen Sie die lineare Nachfragefunktion und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!

2. Wieviele Exemplare dieser Zeitschrift können maximal abgesetzt werden?

3. Ab welchem Preis wird kein einziges Exemplar mehr gekauft?

4. Bestimmen Sie jene Funktion, die die Einnahmen in Abhängigkeit vom Verkaufspreis angibt, geben Sie die Definitionsmenge an und skizzieren Sie den Funktionsgraphen!

5. Berechnen Sie den Verkaufspreis, für den die Einnahmen maximal werden!

6. Wie hoch sind die maximalen Einnahmen?

7. Wieviele Exemplare werden in diesem Fall verkauft?