Aufgabenstellung

An der abgebildeten Zielscheibe wurden durch Beobachtungen Trefferwahrscheinlichkeiten ermittelt: Mit der Wahrscheinlichkeit von einem Achtel treffen Schüsse in den inneren schwarzen Bereich. Der weiße ringförmige Bereich wird mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ getroffen und mit 50% Wahrscheinlichkeit wird der äußere graue ringförmige Bereich getroffen. Die restlichen Schüsse treffen die Zielscheibe nicht.

Target diagram showing three concentric circles: inner black circle (1/8 probability), white ring (1/4 probability), and outer gray ring (1/2 probability)

1. Es werden 3 Schüsse abgegeben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

   Ereignis A: Die beiden ersten Schüsse treffen in den inneren schwarzen Kreis und der dritte Schuss trifft in den weißen Ring.

   Ereignis B: Alle drei Bereiche der Zielscheibe werden jeweils einmal getroffen, wobei die Reihenfolge egal ist.

   Ereignis C: Mindestens ein Schuss trifft die Zielscheibe nicht.

2. Folgendes Spiel wird vereinbart: Man darf dreimal schießen. Trifft man dreimal, so bekommt man 170€, tritt Ereignis B ein, so bekommt man 7€. Bei Ereignis C muss man X Euro zahlen. Bei allen anderen Ereignissen muss man nichts bezahlen und bekommt auch nichts. Bestimmen Sie X so, dass das Spiel fair ist!

3. Berechnen Sie, wie viele Schüsse mindestens abgegeben werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer in den inneren schwarzen Bereich größer als 99,5% ist.